WORKSHOP
Fourier analysis on the Heisenberg group, and Weyl-Hörmander calculus
Analyse harmonique sur le groupe de Heisenberg, et calcul de Weyl-Hörmander
3 – 7 April, 2023
Participants
Jean-Yves Chemin (Université Claude Bernard Lyon 1)
Raphaël Danchin (Université Paris-Est Créteil Val de Marne)
In a book entitled « Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations » published in 2011 by Springer (Grundlehren mathematischen Wissenschaften) and written by three authors (Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin and Raphaël Danchin), we presented the state of the art of Fourier analysis methods, in relation to the study of Partial Differential Equations posed in the whole space.
This book, which aimed at filling a gap in the mathematical community, quickly met a great success and is now widely quoted all over the world. Therefore, it seemed natural to us to propose a similar book dealing with a non-Euclidean situation. We focused on the Heisenberg group which is the « simplest » noncommutative infinite setting in which one can define a Fourier transform, and hope to find results similar to those of the Euclidean case. In the second part of the book, we also explored the links with the Weyl-Hörmander calculus.
A first manuscript of 450 pages has been submitted to Grundlehren mathematischen Wissenschaften in November 2021, and we have received three reports, one of 24 pages, positive, but asking for substantial modifications. Some of these requests require important changes in presentation and, for the moment, we have not been able to find enough availability to discuss them seriously. Moreover, the departure of Jean-Yves Chemin for the University of Lyon since January.
Dans un livre intitulé « Fourier Analysis and Nonlinear Partial Differential Equations » paru en 2011 chez Springer (Grundlehren mathematischen Wissenschaften) et écrit à trois auteurs (Hajer Bahouri, Jean-Yves Chemin et Raphaël Danchin), nous avons présenté l’état de l’art des méthodes d’analyse de Fourier, en relation avec l’étude des équations aux dérivées partielles posées dans l’espace entier.
Ce livre, qui visait à pallier un manque dans la communauté mathématique, a rapidement rencontré un grand succès et est maintenant abondamment cité de par le monde. De ce fait, il nous est paru naturel de proposer un ouvrage similaire traitant une situation non euclidienne. Nous nous sommes concentrés sur le groupe de Heisenberg qui est le cadre infini non commutatif « le plus simple » dans lequel on peut définir une transformée de Fourier, et espérer retrouver des résultats similaires à ceux du cas euclidien. Nous avons également, en deuxième partie de livre, exploré les liens avec le calcul de Weyl-Hörmander.
Un premier manuscrit de 450 pages a été soumis à Grundlehren mathematischen Wissenschaften en novembre 2021, et nous avons reçu trois rapport, dont l’un de 24 pages, positifs, mais demandant des modifications substantielles. Certaines de ces demandes nécessitent des changements de présentation importants et, pour l’heure, nous n’avons pas réussi à trouver la disponibilité pour en discuter sérieusement. De plus, le dé part de Jean-Yves Chemin pour l’Université de Lyon depuis janvier 2023 rend compliqué un travail commun régulier sur le manuscrit.