Le but de cette Master Class est d’introduire les notions centrales du Master 2 ‘Géométrie et groupes’ à partir de la géométrie sur les surfaces.
Avant de parler de géométrie, il nous faut parler de surfaces. La toute première surface à laquelle on peut penser est, par définition, le plan. Une surface, en général, est un objet qui localement ressemble à un plan. On peut penser à la sphère unité de l’espace euclidien de dimension 3 ou bien encore au tore de révolution, encore en dimension 3 (quelque chose qui ressemble à un donut ou une bouée).
Les surfaces dont on parle ci-dessus viennent naturellement avec une distance, distance que l’on construit grâce à une métrique riemannienne. Nous définirons ces notions au début de la semaine. Les surfaces équipées d’une telle structure deviennent alors des espaces métriques et l’on peut s’intéresser à leurs propriétés géométriques.
De ce point de vue, la Master Class va essentiellement se concentrer sur la notion de courbure, notion qui permet de quantifier précisément qu’un morceau de sphère est, métriquement, différent d’un morceau de plan. Cette notion de courbure amène des questions naturelles. Par exemple, en partant de la remarque que les espaces à courbures constantes positives (les sphères et le plan) se plongent naturellement dans l’espace euclidien, la question de savoir si l’espace de courbure négative -1 s’y plonge également devient intéressante. On verra que ce n’est pas le cas.
Une autre gamme de questions sont celles des contraintes topologiques que doit porter la fonction de courbure. On a bien l’intuition, par exemple, que l’on ne peut pas mettre de métrique à courbure nulle sur une sphère. On verra que ce fait découle d’un célèbre théorème, le théorème de Gauss-Bonnet.
La question des liens qu’entretiennent la géométrie avec la topologie amène à l’étude des invariants topologiques d’un point de vue géométrique. On verra que certains invariants topologiques, comme le groupe fondamental, portent aussi une géométrie naturelle, géométrie que l’on pourra comparer à la géométrie de la surface.

La Master Class sera composée de 12 heures de cours qui adressent directement les sujets évoqués ci-dessus. Ces 12 heures seront complétées par des exposés d’intervenants extérieurs et de doctorants de l’I2M. 

Cours

Adrien Boulanger, Thierry Coulbois et Jean Raimbault

Intervenants extérieurs

Anthony Genevois, Jérémy Toulisse