RESEARCH IN RESIDENCE

Connecting combinatorial solutions of PE and YBE via associated Hopf algebras
Sur le lien des solutions combinatoire des équations de PE et YBE via les algèbres de Hopf

1st – 5 May, 2023

Participants

Ilaria Colazzo (University of Exeter)
Geoffrey Janssens (Catholic University of Louvain)

   The study of the Yang-Baxter equation (YBE) has been an extensive research area for the past sixty years. Especially the advances in quantum groups in the ’90s have made the YBE a natural and fundamental tool for various fields of mathematics such as knot theory and representation theory.
   This project will contribute to Drinfeld’s question on the classification of combinatorial-like solutions to the YBE, such as set-theoretic ones. The state of the art has progressed quickly since the work of Etingof–Schedler–Soloviev and especially in the last years with the introduction of skew braces by Rump and Guarnieri–Vendramin.
   Our main aim is to change the point of view and study set-theoretic solutions to the YBE by developing a new and explicit connection with (set-theoretic) solutions to the Pentagon equation. This will be approached by understanding certain finite-dimensional Hopf algebras associated with such solutions and a categorical interaction between its Drinfeld double and Heisenberg double.

   L’étude de l’équation de Yang-Baxter (EYB) a été un sujet de recherche intense depuis soixante ans. Le progrès impressionnant des années ’90 concernant les groupes quantiques ont rendu EYB un outil naturel et fondamental pour différents domaines des mathématiques, tel que la théorie des noeuds et la théorie des représentations.
   Ce projet-ci contribuera à une question emblématique de Drinfeld sur la classification des solutions de type combinatoire de l’EYB, tel que ceux préservant une base. La compréhension du sujet a rapidement progressé grâce aux travaux de Etingof-Schedler-Soloviev et certainement les dernières années avec l’introduction des ’skew braces’ par Rump et Guarnieri-Vendramin.
   Notre but principal est cependant de changer le point de vue ci-dessus. Plus précisément, le plan est de développer un nouveau lien combinatoire entre les solutions combinatoires de l’EYB et ceux de l’équation du Pentagone. À fin de réaliser cela, on étudiera certaines algèbres de Hopf de dimension fini associé à tel solutions et également une interation catégorique entre leur double de Drinfeld et de Heisenberg.

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