RESEARCH IN RESIDENCE

Small deviations for stochastic partial differential equations
Petites déviations pour des équations stochastiques à dérivée partielle.

29 May – 2 June, 2023

Participants

Mathew Joseph (Indian Statistical Institute)
Mohammud Foondun (University of Strathclyde Glasgow)
Kunwoo Kim (Pohang University of Sciences and Technology POSTECH)

   The theory of large deviations plays an important role in the theory of probability. It has therefore received a tremendous amount of attention. By contrast, the theory of small deviations or small ball probability haven’t received as much attention. This is particularly true in the context of stochastic partial differential equations which during the recent decades have become very important. The aim of this proposal is to start a research programme which will fill this gap in the literature. We will build on the recent work of Athreya, Mueller and Joseph as well as Foondun, Joseph and Kim to study novel questions regarding small ball probabilities in the context of stochastic partial differential equations. More specifically, the goal is to look at the stochastic heat equation defined on a suitable domain and study the precise rate at which the solution stays in a small ball. We will first study the case when the noise is additive so that we can use the theory of Gaussian processes to arrive at the required results. We will then use a perturbation argument to extend these results to more general equations.

   La théorie des grandes déviations joue un rôle important dans la théorie des probabilités. Elle a donc fait l’objet d’une attention considérable. En revanche, la théorie des petites déviations n’a pas recçu autant d’attention. Ceci est particulièrement vrai dans le contexte des équations aux dérivées partielles stochastiques qui au cours des dernières décennies ont pris une grande importance. Le but de cette rencontre est de démarrer un programme de recherche qui comblera cette lacune dans la littérature. Nous nous appuierons sur les travaux récents d’Athreya, Mueller et Joseph ainsi que de Foondun, Joseph et Kim pour étudier de nouvelles questions concernant les probabilités de petite boule dans le contexte des équations aux dérivées partielles stochastiques. Plus précisément, l’objectif est d’examiner l’équation de chaleur stochastique définie sur un domaine approprié et d’étudier la vitesse précise à laquelle la solution reste dans une petite boule. Nous étudierons d’abord le cas où le bruit est additif afin de pouvoir utiliser la théorie des processus gaussiens pour arriver aux résultats recherchés. Nous utiliserons ensuite un argument de perturbation pour étendre ces résultats à des équations plus générales.

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