RESEARCH IN RESIDENCE

Cacti and poset
Cactus et posets


7 – 11 November 2022

Participants

Paolo Bellingeri (Université de Caen)
Eddy Godelle (Université de Caen)
Luis Paris (Université de Bourgogne)

   The objective of this one week working group at the CIRM is to enable participants to make progress on a project whose aim is to develop a general framework for the algebraic study of cactus groups. This more general framework is inspired by the lattice structure of parabolic subgroups. Our study would cover all cactus groups associated to Coxeter groups and would be more general. In particular, it would consider cactus groups with infinitely many generators, on the one hand, and generators which will not necessarily be of order 2, on the other hand. This point is important in the perspective of applications to the study of virtual braid groups and more generally to virtual Artin groups that the members of the meeting plan to develop later. The approach will consist, on the one hand, in adapting techniques used successfully in the case of right-angled Artin groups and, on the other hand, in using tools coming from Garside theory. The main expected result is the construction of normal forms in cactus groups to which would be associated a confluent and terminating rewriting system of polynomial complexity. This would provide for example a solution to the word problem but also results of embedding cactus groups into cactus groups, leading
to a natural definition of parabolic subgroups. These subgroups should behave like their equivalents for Coxeter groups (stable by intersection, with compatible presentations, and compatible normal forms, etc.). This family of parabolic subgroups should open the way to the construction of complexes on which the cactus groups would act.

   L’objectif de ce groupe de travail d’une semaine au CIRM est de permettre aux participants d’avancer sur des travaux en cours visant àvelopper un cadre géral permettant une étude algébrique des groupes de cactus. Ce cadre plus géral est inspiré de la structure de treillis des sous-groupes paraboliques. Notre étude couvrirait tous les groupes de cactus provenant des groupes de Coxeter mais serait plus ral. En particulier elle permettrait de considérer des groupes de cactus avec un ensemble infini de rateurs, d’une part, et des gérateurs qui ne seront pas nécessairement d’ordre 2, d’autre part. Ce point est important dans la perspective d’applications à l’étude des groupes de tresses virtuels et plusralement des groupes d’Artin virtuels que les membres de la rencontre envisagent de développer par la suite. L’approche consistera, d’une part, à adapter des techniques utilisées avec succès dans le cas des groupes d’Artin-Tits à angles droits et, d’autre part, à utiliser des outils provenant de la théorie de Garside. Le résultat principal attendu est la construction de formes normales dans les groupes de cactus auxquelles serait associé un système de réécriture confluant et terminant de complexité polynomiale. Ceci fournirait par exemple une solution au problème du mot mais aussi des résultats de plongement d’un groupe de cactus dans un autre, conduisant à une définition naturelle de sous-groupe parabolique. Ces sous-groupes devraient se comporter comme leurs équivalents dans le cadre des groupes de Coxeter (stables par intersection, compatibilité des présentations et des formes normales, etc.). Cette famille de sous-groupes paraboliques devrait ouvrir la voix à la construction de complexes sur lesquels les groupes de cactus agiraient.

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