RESEARCH IN RESIDENCE
Recollements, stratifying ideals and Hochschild homology
Recollements, ideaux stratifiants et homologie de Hochschild
19 – 30 June, 2023
Participants
Claude Cibils (Université de Montpellier)
Marcelo Lanzilotta (University of the Republic of Uruguay)
Eduardo Marcos (University of Sao Paulo)
Andrea Solotar (University of Buenos Aires)
Recollements first appeared in the work of Beilinson, Bernstein and Deligne in relation with the category of perverse sheaves. A recollement is an exact sequence of abelian categories where both the inclusion and the quotient functors admit left and right adjoints. In the context of module categories of finite dimensional algebras over a field, recollements were first used by Cline, Parshall and Scott.
Recently Angeleri Hügel, Koenig, Liu and Yang succeeded to prove an important result: the finiteness of the global dimension of a finite dimensional algebra is preserved under a recollement of derived categories for a perfect field.
This result challenged us to establish properties of Hochschild homology spaces within a recollement situation, via a stratifying ideal. Moreover, Han based on work of Keller, established a long exact sequence in Hochschild homology through a stratifying idea.
Our main purpose is, for a finite dimensional algebra Λ with a stratifying ideal to prove that the Hochschild homology of Λ is of finite dimension, then the Hochschild homology of the algebra of endomorphisms eΛe of Λe is also finite (where e is the stratifying idempotent for the ideal ΛeΛ).
This would be a major step for reducing Han’s conjecture to a family of “minimal” algebras, that is without stratifying ideals.
Les recollements sont apparus pour la première fois dans les travaux de Beilinson, Bernstein et Deligne en relation avec la catégorie des faisceaux pervers. Un recollement est une suite exacte de catégories abéliennes où les foncteurs d’inclusion et de quotient admettent des adjoints à gauche et à droit. Dans le
contexte des catégories de modules des algèbres de dimension finie sur un corps, les recollements ont d’abord été utilisés par Cline, Parshall et Scott.
Récemment Angeleri Hügel, Koenig, Liu et Yang ont réussi à prouver un résultat important : la finitude de la dimension globale d’une algèbre de dimension finie est préservée sous un recollement de catégories dérivées pour un corps parfait.
Ce résultat nous a mis au défi d’établir les propriétés des espaces d’homologie de Hochschild dans une situation de recollement, via un idéal de stratification. De plus, Han s’appuyant sur les travaux de Keller, a établi une longue suite exacte des homologies de Hochschild en situation de stratification.
Notre but principal est, pour une algèbre de dimension finie Λ avec un idéal de stratification de prouver que si l’homologie de Hochschild de Λ est de dimension finie, alors l’homologie de Hochschild de l’algèbre des endomorphismes eΛe de Λe est aussi finie (où e est l’idempotent de stratification pour l’idéal ΛeΛ).
Ce serait une étape majeure pour réduire la conjecture de Han à une famille d’algèbres « minimales », c’est-à-dire sans idéaux stratifiants.
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