RESEARCH IN RESIDENCE

Frame Flow on Riemannian Manifolds
Le flot des repères sur les variétés riemanniennes

3 – 14 April, 2023

Participants


Thibault Lefeuvre (CNRS, Sorbonne Université)
Andrei Moroianu (CNRS, Université Paris-Saclay)
Uwe Semmelmann (University of Stuttgart)

The frame flow of negatively curved manifolds is one of the first examples of partially hyperbolic dynamics: it is defined as an extension of the geodesic flow (which is uniformly hyperbolic) to the frame bundle of the manifold by means of parallel transport. The study of its statistical properties such as ergodicity, mixing or exponential mixing, is still widely open. We have recently shown that, under reasonable pinching assumptions on the sectional curvature, the frame flow of even-dimensional manifolds is ergodic and mixing — the odd-dimensional case being already solved by Brin-Gromov in 1980.
Surprisingly, this problem is linked to questions of a very diverse nature: — in algebraic topology: the classification of the reductions of the structure groups of the sphere, — in Riemannian geometry: the existence of almost-parallel structures (e.g. Killing forms, almost-Kähler or almost-G_2 structures, etc.) — in algebraic geometry: the classification of polynomial maps between spheres. The purpose of this research project is to explore these multiple aspects of the problem and to progress on our understanding of the frame flow.

Le flot des repères des variétés à courbure négative est l’un des premiers exemples de dynamique partiellement hyperbolique : il est défini comme une extension du flot géodésique (qui est uniformément hyperbolique) au fibré des repères de la variété grâce au transport parallèle. L’étude de ses propriétés statistiques telles que l’ergodicité, le mélange ou le mélange exponentiel, est encore très largement ouverte. Nous avons récemment montré que, sous des hypothèses de pincement raisonnables sur la courbure, le flot des repères des variétés de dimension paire était ergodique et mélangeant — le cas de la dimension impaire étant déjà résolu par un travail de Brin-Gromov de 1980.
 
De façon surprenante, ce problème est lié à des questions de nature très diverse :
— en topologie algébrique : la classification des réductions des groupes de structure de la sphère,
— en géométrie riemannienne : l’existence de structures presque-parallèles (e.g. formes de Killing, structures presque-Kähler ou presque-G_2, etc.)
— en géométrie algébrique : la classification d’applications polynomiales entre sphères.
 
Le but de ce séjour de recherche est d’explorer ces multiples aspects du problème et de progresser sur notre compréhension du flot des repères.

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