RESEARCH IN RESIDENCE

Random graphs and extreme value theory
Graphes aléatoires et théorie des valeurs extrêmes


21 August – 1st September, 2023

Participants

Arnaud Rousselle (Université de Bourgogne)
Ercan Sönmez (University of Klagenfurt)

The theory of random graphs is a large branch of classical as well as modern probability theory, including a variety of applications of random graph models, mainly motivated by the study of real-world networks. A quite popular and accepted random graph model taking into account real-life properties is long-range percolation on integer lattices. Another version of longrange percolation is the random connection model in which the node set above is replaced by the points of a homogeneous Poisson point process. This random graph model is more flexible in the sense that the node set is not fixed and can be an arbitrary (random) subset of R d . Both models have received great attention and several of its graph-theoretical properties have been studied separately but it has been shown in many aspects that they behave similarly. In a recent joint project for the first time we studied both models simultaneously from a new perspective, mainly motivated by linking this research area to the theory of extreme values. In particular this enabled us to compare them and reveal subtle differences between classical long-range percolation and the random connection model. Namely, the focus is on the investigation of occurrence of long edges, which is a natural question of interest given the structure of these models and which might pave the way for further theoretical as well as practical applications. Considerably lots of works on long-range percolation originated from the pioneering paper by Benjamini and Berger (2001) focusing on graph distances in a finite version of long-range percolation, which has been proven to be a fruitful area for further research. Inspired by this impulse currently we are striving on initiating the investigation of long edges and their typical behavior according to several phases. The goal of this Research in Residence is to push forward our research incentives, solve and finish some of our open projects we have identified in this new promising research area.

La théorie des graphes aléatoires est une large branche de la théorie classique et moderne des probabilités, incluant des applications variées des modèles de graphes aléatoires principalement motivées par l’étude de réseaux du monde réel. Un modèle de graphe aléatoire assez populaire et bien accepté prenant en compte les propriétés de la vie réelle est la percolation `a longue portée sur des réseaux d’entiers. Une autre version de la percolation `a longue portée est le modèle de connexion aléatoire dans lequel les sommets sont les points d’un processus ponctuel de Poisson homogène. Ce modèle de graphe aléatoire est plus flexible dans le sens où l’ensemble de sommets n’est pas fixe et peut être un sous-ensemble arbitraire (aléatoire) de R d . Les deux modèles ont reçu une grande attention et plusieurs de ses propriétés théoriques des graphes ont été étudiées séparément, mais il a été démontré à bien des égards qu’ils se comportent de manière similaire. Dans un récent projet conjoint, nous avons étudié pour la première fois les deux modèles simultanément dans une nouvelle perspective, principalement motivée par le lien entre ce domaine de recherche et la théorie des valeurs extrêmes. Cela nous a notamment permis de les comparer et de révéler des différences subtiles entre la percolation classique à longue distance et le modèle de connexion aléatoire. Plus précisément, l’accent est mis sur l’étude de l’occurrence de longues arrêtes, qui est une question d’intérêt naturelle compte tenu de la structure de ces modèles et qui pourrait ouvrir la voie à d’autres applications théoriques et pratiques. Un grand nombre de travaux sur la percolation `a longue portée s’inscrivent dans la lignée de l’article pionnier de Benjamini et Berger (2001) portant sur les distances de graphes dans une version finie de la percolation `a longue portée, qui s’est avérée être un domaine fructueux pour des recherches ultérieures. Inspirés par cette impulsion, nous nous efforçons actuellement d’initier l’étude des bords longs et de leur comportement typique selon plusieurs phases. L’objectif de ce séjour Recherche en Résidence est de faire avancer nos travaux de recherche en résolvant et terminant certains de nos projets ouverts que nous avons identifiés dans ce nouveau domaine de recherche prometteur.

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