RESEARCH IN RESIDENCE

Effective models for Brownian suspensions
Modèles effectifs de suspensions Browniennes

12 – 16 December, 2022

Participants

Richard Matthias Höfer (Université Paris Cité)
Marta Leocata (Luiss University)
Amina Mecherbet (Université Paris Cité)

The mathematical modeling and analysis of effective behavior of suspensions has attracted a lot of attention in recent years. and has lead to a much deeper understanding of rheological properties of complex fluids. A very prominent feature of complex fluids is viscoelastic behavior that is responsible for a number of astonishing phenomena. According to experiments, viscoelastic behavior arises in particular in suspensions of elongated Brownian particles. Examples of such fluids include polymer suspensions, liquid crystals, fibre suspensions, rods and plates. A by now classical mesoscopic model for these suspensions consists of a coupling between a Fokker-Planck equation for the probability distribution of the disperse phase (particles or polymers) and a (Navier-)Stokes equation for the ambient fluid. A mathematical derivation of effective viscoelastic models from a microscopic description is a very challenging open problem Very recently, we have provided in [1] a first step in this direction by justifying the appearance of the elastic stress term in a simplified case. More precisely, we considered a suspension of N non spherical static particles submitted to a rotational Brownian motion and neglecting hydrodynamic interactions between the particles as well as suitable assumptions on the volume fraction of the particles and the minimal distance between their positions. Our stay at the CIRM will enable us to continue an ongoing work that aims to extend the former rigorous derivation by including particle translations as well as hydrodynamic interactions between the particles and the fluid. The main difficulty in this setting is to justify first the SDEs satisfied by the particles position and orientations and to ensure the propagation of the initial minimal distance assumption between the particles position. Preliminary estimates using the tools developed in [1] seem to indicate that a translational Brownian force applied on the particles do not perturb the propagation of the minimal distance, at least for short times.

L’intérêt grandissant pour la modélisation et l’analyse mathématique des propriétés eectives des suspensions a conduit, durant les dernières années, à une meilleure compréhension de la rhéologie des uides dits complexes. Un des phénomènes qui a reçu le plus d’attention concernant ces uides complexes est leur comportement viscoelastique qui apparait notamment dans le cas de suspensions de particules allongées soumises à des eets browniens. Nombreux exemples illustrent ce phénomène tels que les suspensions de polymères, cristaux liquides, suspensions de bres, tiges et plaques. Un modèle mésoscopique classique décrivant ces suspensions consiste en un couplage entre une équation de Fokker-Planck pour la probabilité de distribution de la phase dispersée (particules ou polymères) et une équation de (Navier-) Stokes pour le uide ambiant. Le problème de la dérivation rigoureuse d’un tel modèle partant d’un modèle microscopique reste non résolu. Nous avons apporté récemment dans [1] un début de réponse en justiant l’apparition du tenseur élastique dans un cadre simplié. Plus précisément, nous avons considéré une suspension de N particules non sphériques immobiles soumises à un mouvement de rotation brownien, nous avons simplié le problème en négligeant les interactions hydrodynamiques entre les particules ainsi qu’avec le uide et en imposant des hypothèses sur l’ordre de la fraction volumique des particules ainsi que la distance minimale entre leurs positions. Notre séjour au CIRM nous permettrait de continuer nos travaux concernant l’extension des résultats précédents en incluant la translation des particules ainsi que les interactions hydrodynamiques entre les particules et le uide. La principale diculté dans ce cadre, consiste à justier le système d’EDSs satisfait par les positions et orientations des particules ainsi que de propager l’hypothèse sur la distance minimale initiale. Des estimations préliminaires basées sur les outils développés dans [1] semblent indiquer qu’une force de traînée additionnelle Brownienne appliquée sur les particules ne perturbe pas la propagation de la distance minimale, au moins pour des temps petits indépendants de N.

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