Universality, Zeta-Functions, and Chaotic Operators
Universalité, fonctions zêta et opérateurs chaotiques

7 – 11 August 2023


Organizing Committee
Comité d’organisation

Ramūnas Garunkštis (Vilnius University)
Kohji Matsumoto (Nagoya University)
Jörn Steuding (University of Würzburg)
Vagia Vlachou (University of Patras)

      The value distribution of the Riemann zeta-function and its well known connection with the distribution of prime numbers (Riemann hypothesis) plays a central role in analytic number theory. An astonishing aspect is the following approximation property: If an arbitrary analytic, zero-free function f is defined on a sufficiently small disk, centered at zero, the zeta-function approximates f uniformly on a sequence of shifts (in the critical strip), i.e., given f and ε > 0, there exists τ such that

                                       max |s|≤r |ζ(s + 3/4 + iτ ) − f(s)| < ε;

moreover, the set of τ has positive lower density. This remarkable result was proved by Voronin in 1973/75 and it is an explicit example of a so-called universality phenomenon: A (divergent) limit process (the sequence of shifts of the zeta function) leads to a dense image in a suitable space (here a vector space of admissible functions). Voronin’s universality theorem has been generalized in various ways: a) to other important Euler products, and b) to more analytic generalizations such as the Hurwitz zeta-function or the Selberg zeta-function associated to Riemann surfaces. Furthermore, related approximation phenomena have been discovered and studied, such as restrictions of the translates (discrete universality), strong recurrence, or simultaneous approximation (joint universality). Besides these impressive explicit results, however, other universality phenomena have been studied for more than one hundred years, starting with their discovery in 1914 by Fekete (about a divergent power series approximating all continuous functions on a compact interval with its partial sums); this direction is still a hot topic in analysis, and the variety of results is remarkable.

       One of the main goals of the workshop is to bring together the two largely independent communities investigating universality phenomena and related questions, in order to present current progress and key research questions in their respective fields to each other. Some researchers continue the investigations of Voronin; this group can be considered as part of the analytic number theory community. The other group has its roots in the theory of functions and functional analysis. There exist several aspects of universality phenomena that are of interest in both communities, and an exchange of perspectives and ideas would definitely be fruitful and stimulating future research! In fact, there are already some successful joint works. Moreover, the upcoming 50th anniversary of Voronin’s discovery would be a perfect occasion for this event.

     La distribution des valeurs de la fonction zêta de Riemann et son lien bien connu avec la distribution des nombres premiers (hypothèse de Riemann) jouent un rôle central dans la théorie analytique des nombres. Un aspect étonnant est la propriété d’approximation suivante: Si une fonction analytique arbitraire, sans zéro, f est définie sur un disque suffisamment petit, centré sur zéro, la fonction zêta approxime f uniformément sur une séquence de décalages (dans la bande critique), c’est-`a-dire que, étant donné f et ε > 0, il existe τ tel que

                                        max |s|≤r |ζ(s + 3/4 + iτ ) − f(s)| < ε;

de plus, l’ensemble des τ a une densité inférieure positive. Ce résultat remarquable a été prouvé par Voronin en 1973/75 et il est un exemple explicite d’un phénomène dit d’universalité: Un processus limite (divergent) (la séquence de décalages de la fonction zêta) conduit `a une image dense dans un espace approprié (ici un espace vectoriel de fonctions admissibles). Le théorème d’universalité de Voronin a été généralisé de diverses manières: a) à d’autres produits d’Euler importants, et b) à des généralisations plus analytiques telles que la fonction zêta de Hurwitz ou la fonction zêta de Selberg associée aux surfaces de Riemann. En outre, des phénomènes d’approximation connexes ont été découverts et étudiés, tels que les restrictions des translations (universalité discrète), la récurrence forte ou l’approximation simultanée (universalité conjointe). Outre ces résultats explicites impressionnants, d’autres phénomènes d’universalité sont étudies depuis plus de cent ans, à commencer par leur découverte en 1914 par Fekete (à propos d’une série de puissance divergente approchant toutes les fonctions continues sur un intervalle compact avec ses sommes partielles); cette direction est toujours un sujet brûlant en analyse, et la variété des résultats est remarquable.
      L’un des principaux objectifs de l’atelier est de réunir les deux communautés largement indépendantes qui étudient les phénomènes d’universalité et les questions connexes, afin de présenter l’une `a l’autre les progrès actuels et les principales questions de recherche dans leurs domaines respectifs. Certains chercheurs poursuivent les investigations de Voronin; ce groupe peut être considéré comme faisant partie de la communauté de la théorie analytique des nombres. L’autre groupe a ses racines dans la théorie des fonctions et l’analyse fonctionnelle. Il existe plusieurs aspects des phénomènes d’universalité qui intéressent les deux communautés, et un échange de perspectives et d’idées serait certainement fructueux et stimulerait les recherches futures! En fait, il existe déjà quelques travaux conjoints réussis. De plus, le prochain 50e anniversaire de la découverte de Voronin serait une occasion parfaite pour cet événement.

IMPORTANT WARNING:  Scam / Phishing / SMiShing ! Note that ill-intentioned people may be trying to contact some of participants by email or phone to get money and personal details, by pretending to be part of the staff of our conference center (CIRM).  CIRM and the organizers will NEVER contact you by phone on this issue and will NEVER ask you to pay for accommodation/ board / possible registration fee in advance. Any due payment will be taken onsite at CIRM during your stay.



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