WORKSHOP
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Master Class
Entre topologie et algèbre : Noeuds, courbes algébriques et singularités

25 – 29 Avril, 2022

Contact

Guillaume Rond (Aix-Marseille Université)

Cette Master Class s’adresse principalement à des étudiants inscrits en première année de Master de mathématiques fondamentales. L’objectif est de sensibiliser les participants aux thèmes du prochain Master 2 de Mathématiques fondamentales de l’université d’Aix-Marseille, c’est-à-dire la topologie, la
géométrie algébrique et la théorie des singularités: https://sites.google.com/view/marseille-master-2-2022-2023

Le programme de cette Master Class couvre les trois sujets suivants qui seront présentés sous forme de cours et d’ateliers pour initier les étudiants à ces thèmes :

1) Singularités des courbes complexes
La théorie des singularités étudie les points singuliers des espaces définis par des équations polynomiales, c’est-à-dire les points en lesquels on ne peut pas appliquer le théorème des fonctions implicites. Par exemple, la courbe définie par l’équation x2 + y3 = 0 admet un point singulier en l’origine. Le cours donnera un panorama des phénomènes topologiques et géométriques qui apparaissent au voisinage de ces points singuliers dans le cas des courbes complexes planes et sera suivi d’un atelier qui permettra de les expérimenter sur des exemples concrets.

2) Théorie des nœud
La théorie des nœuds étudie les différentes façons qu’une courbe fermée simple a de se nouer dans l’espace ambiant. Dans une partie de cours, nous introduirons les définitions de ces objets noués, les outils diagrammatiques pour les étudier, ainsi qu’un certain nombre de propriétés qu’un nœud peut vérifier ou non. Les invariants de nœuds sont des outils algébriques permettant de différencier des nœuds distincts. En atelier, nous introduirons des invariants (colorabilité, polynôme de Jones) que les étudiants manipuleront sur des exemples.

3) Cubiques planes, courbes elliptiques et surfaces de Riemann de genre 1
Le cours va commencer par la théorie classique des courbes planes dans les plans affine et projectif complexe. En particulier nous nous intéresserons au passage affine → projectif pour une courbe algébrique plane générale. Ensuite nous nous concentrerons sur l’étude des cubiques planes. Nous verrons que les cubiques lisses (sans points singuliers) admettent une structure de groupe. Nous introduirons ensuite la notion de surface de Riemann au travers de l’exemple des cubiques planes. Nous conclurons avec quelques théorèmes de classification importants qui font intervenir les outils de la géométrie complexe moderne

Les intervenants seront Benjamin Audoux, Frédéric Mangolte, Delphine Moussard, Anne Pichon, Guillaume Rond, Andrei Teleman.