RESEARCH IN RESIDENCE
Solution Classes for Semilinear Heat Equations
Des Classes de Solutions pour les Équations de la Chaleur Semi-linéaires
Des Classes de Solutions pour les Équations de la Chaleur Semi-linéaires
11 – 22 April, 2022
Description
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The purpose of this project is to address fundamental questions of existence and uniqueness of solutions for semilinear heat equations with unbounded initial data. Such questions remain at the heart of modern well-posedness theories of nonlinear partial differential equations and have wider applicability to other branches of mathematics (e.g., functional analysis, probability theory, geometric flows) and as models in the natural and social sciences of major academic and economic importance. Most of our current understanding rests on two key ideas: i) linear evolution is successfully described in the language of linear functional analysis; ii) there are classes of interesting problems where the equation may be treated as weakly nonlinear, whereby nonlinear perturbation effects are dominated by the linear evolution. This approach brought about significant advances in the 1980s and 90s. However, outside of the weakly nonlinear regime there exist a multitude of important problems that cannot be effectively addressed with a linear toolbox and new ideas are required. Our approach will utilise new iteration techniques for the integral form of the equation. Our objective is to develop a fully nonlinear method compatible with the particular nonlinear structure of the equation, to obtain a more nuanced description of well-posedness. We anticipate that this project will be of significant interest to mathematicians locally and internationally.
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Le but de ce projet est de répondre aux questions fondamentales concernant l’existence et l’unicité de solutions des équations de la chaleur semi-linéaires avec données initiales non nécessairement bornées. La question d’être bien posé, ou non, reste au cœur des théories modernes des équations aux dérivées partielles non linéaires ayant un large domaine d’applicabilité à d’autres branches des mathématiques. Celui-ci comprend l’analyse fonctionnelle, la théorie des probabilités, les flux géométriques et l’application de modèles de grande importance aux sciences naturelles et sociales. La plupart de nos connaissances actuelles reposent sur deux idées clés: i) l’évolution linéaire peut se décrire naturellement dans le langage de l’analyse fonctionnelle linéaire; ii) il existe des classes de problèmes intéressants où l’équation peut se traiter comme faiblement non linéaire et où les effets d’une perturbation non linéaire sont dominés par l’évolution linéaire. Cette approche a permis des avancés significatives pendant les années 80 et 90. Cependant, en dehors du régime faiblement non linéaire il existe une multitude de problèmes importants que l’on ne peut pas traiter efficacement par la boîte à outils linéaires et de nouvelles idées sont nécessaires. Alors, nous utiliserons de nouvelles techniques d’itération pour la forme intégrale de l’équation où l’objectif sera de développer une méthode compatible avec la structure non linéaire particulière de l’équation pour décrire les nuances de ses propriétés bien-posées. Nous prévoyons que de divers mathématiciens, soit au niveau régional, soit internationalement, s’intéresseront aux résultats de ce projet.
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Participants
Robert Laister (University of the West of England)
Mikolaj Sierzega (University of Warsaw)
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Sponsor
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