RESEARCH IN RESIDENCE
C2 cubic splines on triangulations: properties and applications
Splines cubiques C2 sur triangulations: propriétés et applications
Splines cubiques C2 sur triangulations: propriétés et applications
28 February – 4 March, 2022
Description
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Splines on triangulations have widespread applications in many areas ranging from finite element analysis and physics/engineering applications to computer graphics and entertainment industry. C2 smooth piecewise polynomials of degree 3 are very appealing because they couple the low degree with a smoothness which is sufficient to efficiently address several problems. However, to obtain such a low degree, one must rely on complicated macro-structures. In the recent paper -T. Lyche, C. Manni, and H. Speleers. Construction of C2 cubic splines on arbitrary triangulations. Foundations of Computational Mathematics, in press. we studied a C2 cubic spline space that can be defined on any given triangulation suitable refined, such that full approximation power is ensured, and such that any element of the space admits a local construction. In particular, we provided a simplex-spline basis for such a spline space. This basis possesses several important properties including : nonnegativity, partition of unity, local support, computational efficiency, representation in terms of a geometrically meaningful control polygon. Now we aim to investigate the applicability of such a space and its representation in different contexts, in particular in Finite Element Analysis. Of course, in order to exploit the potential of this space and of its representation in this perspective several steps are still missing, for instance, there is a need for tailored quadrature rules.
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Les splines définies sur les triangulations trouvent des applications dans de nombreux domaines allant de l’analyse par éléments finis à la Conception Assistée par Ordinateur et à l’industrie du divertissement. Les polynômes par morceaux de degré 3, de continuité C2, sont très attrayants car ils associent un degré faible à une régularité suffisante pour résoudre efficacement plusieurs problèmes. Cependant, pour obtenir un degré aussi bas, il faut s’appuyer sur des macro-structures compliquées. Dans le récent article -T. Lyche, C. Manni et H. Speleers. Construction de splines cubiques C2 sur des triangulations arbitraires. Foundations of Computational Mathematics, sous presse. nous avons étudié un espace spline cubique C2 qui peut être défini sur n’importe quelle triangulation convenablement subdivisée. La définition est telle que le degré maximal d’approximation est assurée, et telle que tout élément de l’espace puisse être obtenu par une construction locale. En particulier, nous avons proposé une base de spline simplex pour un tel espace de spline. Cette base possède plusieurs propriétés importantes dont la positivité, la partition de l’unité, le support local, la représentation en termes de polygone de contrôle. Nous visons maintenant à étudier l’applicabilité d’un tel espace, et sa représentation dans différents contextes, en particulier pour l’analyse par éléments finis. Bien entendu, afin d’exploiter le potentiel de cet espace et de sa représentation dans ce contexte plusieurs étapes manquent encore. Par exemple, il sera nécessaire de définir des règles de quadrature dédiées.
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Participants
Tom Lyche (University of Oslo)
Carla Manni ((University of Rome)
Hendrik Speleers (University of Rome)
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Sponsor
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