RESEARCH IN PAIRS
Can you hear the shape of a polygonal billiard table
Pouvez vous entendre la forme d’une table de billard polygonale

27 February – 10 March, 2023

Description
 Consider a polygon P and label the edges from a finite alphabet. Code a billiard orbit by the sequence of sides it hits, the bounce spectrum B(P) is the set of codes one obtains. Recently it was shown that that if two simply connected Euclidean poylgons have the same bounce spectrum, then they are either right angled and affinely equivalent or they are similar polygons (M. Duchin, V. Erlandsson, C. Leininger, and C. Sadanand; You can hear the shape of a billiard table: Symbolic dynamics and rigidity for flat surfaces Commentarii Mathematici Helvetici). The proof uses high power tools; the aim of our proposal is to find an elementary proof of this result. The first step of this was achieved by one of us in (A. Calderon, S. Coles, D. Davis, J. Lanier, and A. Oliveira, Constructing a billiard table from its bounce spectrum arXiv:1806.09644) where it was shown using elementary techniques that the bounce spectrum determines the angles of the polygon. Triangulate the polygon, label the edges of the triangles and define the augmented bounce spectrum to be the set of codes obtained by the sequence of sides of the triangulation orbits hit. We propose to investigate whether the stronger above mentioned result can be recovered using the bounce spectrum to determine the augmented bounce spectrum and then using the augmented bounce spectrum to determine the angles of the triangulation. Since triangle are determined up to similarity by their angles these two facts, if true would yield the stronger result. Considérer un polygone P, énumérer les arêtes. Coder une orbite de billard par la séquence de côtés qu’elle frappe, le spectre de rebond B(P) est l’ensemble des codes que l’on obtient. Récemment, il a été montré que si deux polygones euclidiens simplement connectés ont le même spectre de rebond, alors ils sont soit à angle droit et affinement équivalents, soit ils sont des polygones similaires (M. Duchin, V. Erlandsson, C. Leininger, and C. Sadanand; You can hear the shape of a billiard table: Symbolic dynamics and rigidity for flat surfaces Commentarii Mathematici Helvetici). La preuve utilise outils mathématiques profonds; le but de notre proposition est de trouver une preuve élémentaire de ce résultat. La première étape a été réalisée par l’un d’entre nous dans (A. Calderon, S. Coles, D. Davis, J. Lanier et A. Oliveira, Constructing a billard table from its bounce spectrum arXiv:1806.09644) où il a été montré à l’aide de techniques élémentaires que le spectre de rebond détermine les angles du polygone. Trianguler le polygone, étiqueter les bords des triangles et définir le spectre de rebond augmenté comme étant l’ensemble des codes obtenus par la séquence des côtés des orbites de triangulation touchés. Nous proposons d’étudier si le résultat de Duchin et. al. mentionné ci-dessus peut être récupéré en utilisant le spectre de rebond pour déterminer le spectre de rebond augmenté puis en utilisant le spectre de rebond augmenté pour déterminer les angles de la triangulation. Puisque triangles sont déterminé jusqu’à similitude par leurs angles, ces deux faits, s’ils etaient vrais, donneraient le résultat souhaité.
Participants

Diana Davis (Phillips Exeter Academy, New Hampshire)
Serge Troubetzkoy (Aix-Marseille Université)