As a first step, we plan to study different dynamic models of biological network formation existing in the literature, which are of reaction-diffusion type and include a “sub-additive term”. In particular, we wish to establish a Γ-convergence type result (for an adequate topology) of these models towards a branched transport model (when the diffusion parameter tends to 0). The behavior of some organisms such as the myxomycete (slime mold) Physarum Polycephalum, in particular in their transformation phase from a plasmodium state (diffuse state) to a concentrated state on a network when optimizing the transport of nutrients, could be modeled through such variational frameworks.

As a further step to model such organisms, we would like to introduce some material constraints in the model since a part of the mass of the plasmodium itself is used to build the network. This could translate at the PDE level as the introduction of suitable dissipation terms in the continuity equation.

Dans un premier temps, nous comptons étudier certains modèles dynamiques de type réaction-diffusion issus de la littérature, décrivant la formation de réseaux en biologie et comprenant un terme sous-additif”. En particulier, nous souhaitons établir un résultat de type Γ-convergence (pour
une topologie adéquate) de ces modèles vers un modèle de type transport branché (lorsque le paramètre de diffusion tends vers 0). Le comportement de certains organismes comme le myxomycète Physarum Polycephalum, notamment dans leurs phases de transformation d’un état de plasmode (diffus) à un état de concentration sur un réseau afin d’optimiser le transport de nutriments, pourrait ainsi être modélisé à l’aide de telles formulations variationnelles.

Dans une nouvelle étape pour modéliser de tels organismes, nous souhaitons introduire dans le modèle des contraintes matérielles puisqu’une partie de la masse du plasmode est utilisée pour construire le réseau. Cela se traduirait au niveau de l’EDP par l’introduction de termes de dissipation dans l’équation de continuité.