WORKSHOP
Effective real algebra
Algèbre réelle effective
8 – 12 February 2021
Participants
Cyril Cohen (INRIA Sophia Antipolis)
Michel Coste (Université de Rennes I)
Henri Lombardi (Université de Franche-Comté)
Assia Mahboubi (INRIA Nantes)
Stefan Neuwirth (Université de Franche-Comté)
Marie-Françoise Roy (Université de Rennes I)
Description
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Our goal in this meeting is to discuss algebra algorithms on the field of real numbers, taking into account the fact that real numbers do not have an effective sign test. The whole classic theme of algorithms on real closed fields (with effective sign test) must therefore be revisited. In addition, some demonstrations in the constructive “ bible ” constituted by Bishop Foundations of constructive analysis lead to results that we consider insufficiently uniform, such as for example its version of the fundamental theorem of algebra. We try to clarify the main purely algebraic properties from which most (all?) sufficiently uniform algorithms practicable on the field of Bishop’s Cauchy reals would derive. Some references for this work. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
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Notre but dans cette rencontre est de discuter les algorithmes de l’algèbre sur le corps des réels en prenant en compte le fait que les nombres réels ne possèdent pas de test de signe effectif. Tout le thème classique des algorithmes sur les corps réels clos (avec test de signe effectif) doit donc être revisité. En outre, certaines d´emonstrations dans “la bible” constructive que constitue l’ouvrage de Bishop Foundations of constructive analysis conduisent à des résultats que nous estimons insuffisamment uniformes, comme par exemple sa version du théorème fondamental de l’algèbre. Nous essayons de mettre au clair les principales propriétés purement algébriques desquelles découleraient la plupart des (tous les ?) algorithmes suffisamment uniformes praticables sur le corps des reels de Cauchy à la Bishop. Quelques references pour ce travail. [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
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References
- Jacek Bochnak, Michel Coste, and Marie-Fran¸coise Roy. Real algebraic geometry, volume 36 of Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)]. Springer-Verlag, Berlin, 1998. Translated from the 1987 French original, Revised by the authors.
- Michel Coste. An introduction to O-minimal Geometry, volume 1 of 1. Dip. Mat. Univ. Pisa, Dottorato di Ricerca in Matematica, Istituti Editoriali e Poligrafici Internazionali, Pisa, 2000.
- Michel Coste, Tomas Lajous-Loaeza, Henri Lombardi, and Marie-Fran¸coise Roy. Generalized Budan-Fourier theorem and virtual roots. J. Complexity, 21(4):479–486, 2005.
- Michel Coste, Henri Lombardi, and Marie-Fran¸coise Roy. Dynamical method in algebra: effective Nullstellensätze. Ann. Pure Appl. Logic, 111(3):203–256, 2001.
- Laureano Gonzalez-Vega, Henri Lombardi, and Louis Mahé. Virtual roots of real polynomials. J. Pure Appl. Algebra, 124(1-3):147–166, 1998.
- Henri Lombardi. Théories géométriques pour l’algèbre des nombres réels. Premier brouillon. http://hlombardi.free.fr/Reels-Geom.pdf, 2020.
- Henri Lombardi and Assia Mahboubi. Théories géométriques pour l’algèbre des nombres r´eels. In Ordered algebraic structures and related topics. International conference at CIRM, Luminy, France, October 12–16, 2015. Proceedings, volume 697, pages 239– 264. Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2017.
- Niels Schwartz. Real closed rings. In Algebra and order (Luminy-Marseille, 1984), volume 14 of Res. Exp. Math., pages 175–194. Heldermann, Berlin, 1986.
- Lou van den Dries. Tame topology and o-minimal structures, volume 248 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge,1998.