This research proposal is focused on the spectral study of magnetic operators in 2D in the semiclassical limit. It is mainly about estimating the eigenvalues repartitions (e.g. traces estimates) of magnetic Schrödinger and Dirac operators in the strong magnetic field limit (or the semiclassical limit). Especially, we want to explore the correction terms in the Weyl asymptotic law for Dirac operators, and discover the influence of the boundary geometry. For Dirac operators, a natural (and physically motivated) boundary condition is the famous MIT bag condition, and this question seems to be widely open. On the Schrödinger side, many works have been done on the trace estimates (when Dirichlet conditions are imposed), but not so many investigate the repartition of the spectrum when considering the semi-excited eigenvalues and the influence of the boundary. If time permits, some questions, arising in quantum physics, about magnetic interactions in quantum many-body systems, and their relations with anyons (quantum (quasi)particles which escape the classical boson/fermion dichotomy) could also be considered.

Ce petit projet de recherche est centré autour de l’étude spectrale d’opérateurs magnétiques en dimension deux, dans la limite semiclassique. Le but principal est d’estimer finement la répartition des valeurs propres (par exemple en étudiant des traces d’opérateurs) d’opérateurs de Schrödinger et de Dirac en présence d’un champ magnétique intense. Nous souhaitons particulièrement explorer l’existence d’un deuxième terme dans les formules de traces (les sommes de valeurs propres) asymptotiques et sa dépendence en la géométrie du bord de l’ouvert sur lequel on se place. Pour les opérateurs de Dirac, une condition particulièrement intéressante et physiquement motivée est la condition dite de masse infinie. Avec une telle condition aux limites, il semble que les estimées spectrales semiclassiques imposent de développer et/ou utiliser des techniques assez avancées (principes du min-max non-linéaire pour Dirac, analyse micolocale). Du côté des opérateurs de Schrödinger, il existe plusieurs travaux qui fournissent des estimées semiclassiques de traces dans le cas du Laplacien magnétique avec conditions de Dirichlet. Cependant, peu semble vraiment connu concernant la répartition des valeurs propres dès qu’on quitte le monde des petites valeurs propres et notamment l’influence du bord sur le spectre. Si le temps le permet, nous explorerons des questions autour des interactions magnétiques pour les systèmes quantiques à plusieurs corps et leurs relations avec les anyons (des particules qui échappent à la dichotomie fermion/boson).