RESEARCH IN RESIDENCE
Inviscid limits of travelling fronts for reaction-diffusion systems
Limite de viscosité évanescente pour des ondes progressives de systèmes de réaction-diffusion
9 – 13 January, 2023
This proposal centres on the investigation of vanishing-viscosity limits of travelling fronts for co-operative monostable reaction-diffusion systems. The project aims to build on earlier work of Danielle Hilhorst with Yong-Jung Kim, where vanishing-viscosity limits of travelling fronts of the famous scalar Fisher-KPP equation and their relationship to front solutions of the corresponding inviscid equation were used to gain insight into the role played by diffusion and reaction mechanisms in generating multiple front speeds for the viscous equation. Questions of vanishing-viscosity limits for front-solutions of reaction-diffusion systems, on the other hand, are largely open at present and involve interesting new challenges due to the possibility of differing diffusion coefficients for the various components of the system. Such interacting systems arise widely in modelling, with fronts representing transitions between distinct steady states, and it is fundamental to understand the mechanisms that determine the speed at which fronts will propagate. The co-operativity assumption on the interaction between components in a system ensures that a comparison principle holds, which enables results on the existence and stability of travelling fronts, qualitatively similar to those known in the scalar case, to be established and thus yields a firm foundation from which to start to investigate the role of vanishing viscosity in the system case. With current research into travelling waves and spreading speeds being rich worldwide and particularly active in France, the project is likely to be of wide interest, in particular to those working both in applied PDE and in mathematical biology. The two participants bring extensive expertise of working on reaction-diffusion systems and singular limits, with Elaine Crooks adding a track record on travelling fronts for systems as well as vanishing-viscosity limits in the context of scalar balance laws that complements the motivating Fisher-KPP equation article of Hilhorst and Kim.
Ce projet est centré sur l’investigation de limites de viscosité évanescente d’ondes progressives pour des systèmes de réaction-diffusion coopératifs monostables. Il s’appuie sur un travail précédent de Danielle Hilhorst et Yong-Jung Kim, où des limites de viscosité évanescente de fronts de l’équation scalaire de FisherKPP et leur relation avec les solutions de l’équation limite correspondante étaient utilisées pour mieux comprendre le rôle joué par les mécanismes de diffusion et de réaction. Les questions liées aux limites de viscosité évanescente pour des ondes progressives de systèmes de réaction-diffusion sont essentiellement ouvertes, avec de nouvelles difficultés liées au fait que les coefficients de diffusion peuvent différer dans les différentes équations du système. De tels systèmes en interaction interviennent dans de nombreuses applications, où les fronts représentent des transitions entre des états stationnaires distincts, et il est fondamental de savoir appréhender les mécanismes qui déterminent la vitesse de propagation des fronts. L’hypothèse de coopérativité sur l’interaction entre les inconnues d’un système garantit la validité d’un principe de comparaison, qui permet d’obtenir des résultats sur l’existence et la stabilité d’ondes progressives, qualitativement similaires à ceux qui sont connus dans le cas scalaire, apporte une fondation solide à partir de laquelle on peut commencer à investiguer le rôle d’une viscosité évanescente dans le cas d’un système. Dans un contexte où la recherche sur les ondes progressives et les vitesses de propagation est active partout dans le monde et particulièrement en France, ce projet va probablement intéresser de nombreux mathématiciens, dont en particulier ceux qui poursuivent leurs recherches dans le domaine des équations aux dérivées partielles appliquées et de la biologie mathématique. Les deux participantes au projet possèdent une expertise certaine sur les systèmes de réaction-diffusion et leurs limites singulières, à laquelle s’ajoute l’expérience d’Elaine Crooks dans le domaine des ondes progressives pour les systèmes ainsi que pour les limites de viscosité évanescente, ce qui complète les résultats de base de Hilhorst et Kim sur l’équation scalaire de Fisher-KPP.
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