We will focus on the following open source software packages: e-antic (V. Delecroix et al.) for arithmetic over number fields, Normaliz (W. Bruns et al.) which implements many algorithms for polyhedra, and SageMath, a general purpose mathematical software. It contains an interface to e-antic and Normaliz, written by M. Köppe and J.-Ph. Labbé.

We first want to improve the software stack in the following directions: extension of the Normaliz interface to SageMath, providing access to fine tuning of Normaliz algorithmic variants and to the Normaliz computation of cone invariants; improvements in the Normaliz convex hull algorithm; computation of exploitation of automorphism groups; exact linear and quadratic optimization over number fields. The e-antic C++ interface will become more efficient and will be extended by linear algebra algorithms.

The following applications will be investigated: construction of Tits polytopes for infinite Coxeter groups; computation of Dirichlet domains for real hyperbolic group actions and analysis (at least experimentally) of their algorithmic complexity; exploration of SL(2,R)-orbit closures on the moduli space of translation surfaces.

We will also use the proposed Research in Pairs visit to the CIRM to complete a research article on algebraic polytopes that covers all the aspects above. Some parts of the paper will be prepared beforehand. Finally, as an outreach action, we will compile tutorials on the computation of algebraic polyhedra in SageMath.

Nous nous concentrerons sur les progiciels libres suivants : e-antic (V. Delecroix et al.) pour l’arithmétique sur les corps de nombres, Normaliz (W. Bruns et al.) qui met en oeuvre de nombreux algorithmes pour polyèdres, et SageMath, un logiciel mathématique de calcul formel. Il contient une interface vers e-antic et Normaliz, écrit par M. Köppe et J.-Ph. Labbé.

Nous voulons d’abord améliorer la suite de logiciel dans les directions suivantes : extension de l’interface Normaliz dans SageMath, donnant accès aux réglages raffinés des variantes algorithmiques de Normaliz et au calcul des invariants des cônes ; améliorations de l’algorithme d’enveloppe convexe de Normaliz ; calcul des groupes d’automorphismes ; optimisation linéaire et quadratique exacte des corps de nombres. L’interface C++ deviendra plus efficace et sera étendue par des algorithmes d’algèbre linéaire.

Les applications suivantes seront étudiées : construction des cônes de Tits pour des groupes de Coxeter infinis ; calcul de domaines de Dirichlet pour des actions de groupes hyperboliques réels et analyse (au moins expérimentale) de leur complexité algorithmique  ; exploration des fermetures d’orbites de SL(2,R) sur l’espace modulaire des surfaces de translation.

Nous utiliserons également la visite proposée au CIRM pour compléter un article de recherche sur les polytopes algébriques qui couvre tous les aspects ci-dessus. Certaines parties dudit document seront préparées à l’avance. Enfin, comme action de rayonnement, nous allons rassembler des tutoriels sur le calcul des polyèdres algébriques dans SageMath.