RESIDENCE
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Inverse spectral problems for Hankel operators on the line and the Szegö equation
Problèmes spectraux inverses pour les opérateurs de Hankel sur la droite et équation de Szegö 5 – 9 October, 2020 |
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Description
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The goal of this research project is to continue a collaboration started five years ago and devoted to inverse spectral problems for Hankel operators. This question from operator theory turned out to be quite relevant after the introduction of the Szegö equation by Sandrine Grellier and the first author in 2010 [1].
The Szegö equation is one of the very few integrable systems in infinite dimension which allow strong transitions to high frequencies (see the survey article [3] formore information). The precise study of this phenomenon is made possible by the spectral analysis of the associated Lax operators, which are Hankel operators on the Hardy space of the disk or of the half–plane. In a monograph in Astérique in2017 [2], Sandrine Grellier and the first author have developed this program in the disk case, obtaining instability properties for the Szegö equation on the circle. On the other hand, it has been known since [6] that the dynamics in the half–plane case is more unstable, because of the possible multiplicity of the spectrum of these operators. The goal of this collaboration is to establish an inverse spectral theorem for Hankel operators on the half–plane with a spectrum of arbitrary multiplicity. A paper on the case of rational symbols is currently in preparation, based on earlier work by the two authors [4]. This work should lead to a better understanding of high frequency transitions for the equation on the line, investigating their genericity, and their extension to nonlinear wave equations along the approach of [5]. |
Le but de ce projet de recherche est de poursuivre une collaboration commencée depuis cinq ans, consacrée aux problèmes spectraux inverses pour les opérateurs de Hankel. Cette question de théorie des opérateurs s’est révéléee particulièrement pertinente depuis l’introduction en 2010 de l’équation de Szegö par Sandrine Grellieret le premier auteur [1].
L’ ́equation de Szegö est l’un des rares exemples de systèmes complètement intégrables en dimension infinie qui permettent de fortes transitions vers les hautes fréquences en temps long (voir l’article de survol [3] pour plus d’informations). L’étude précise de ce phénomène est rendue possible par l’analyse spectrale des opérateurs de Lax associés, qui sont des opérateurs de Hankel sur l’espace de Hardy sur le disque ou le demi–plan. Dans une monographie à Astérique en 2017 [2], Sandrine Grellier et le premier auteur ont mené à bien ce programme dans le cas du disque, obtenant des propriétés d’instabilité pour l’ équation de Szegö sur le cercle. On sait par ailleurs [6] que la dynamique dans le cas du demi–plan est plus instable, notamment en raison de multiplicité dans le spectre de ces opérateurs. Le but de cette collaboration est d’établir un théorème spectral inverse pour les opérateurs de Hankel sur le demi–plan avec un spectre de multiplicité quelconque. Un article dans le cas des symboles rationnels est en cours de rédaction, se fondant notamment sur des travaux antérieurs des deux auteurs [4]. Ce travail pourrait déboucher sur une meilleure compréhension des transitions vers les hautes fréquences pour l’équation de Szegö sur la droite et de discuter leur généricité, voire leur extension à des équations d’ondes non linéaires suivant l’approche de [5]. |
Participants
Patrick Gérard (Université Paris-Sud)
Alexander Pushnitski (King’s College, London)
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Sponsor
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