RESEARCH IN RESIDENCE
Singular perturbation problems with elastic anisotropy. Applications to nematic liquid crystals
Problèmes de perturbation singulière avec anisotropie élastique. Applications aux cristaux liquides
Problèmes de perturbation singulière avec anisotropie élastique. Applications aux cristaux liquides
20 June – 1st July 2022
Description
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Many materials (superconductors, micromagnets, liquid crystals, etc.) can be described using maps with values close to a fixed manifold, except around singularities (called defects inmaterial science). These maps minimize a singular perturbation energy with two competing terms: a quadratic elastic term penalizing gradients, and a bulk term penalizing values away from the limit manifold. The two terms interact at a small characteristic length scale and minimizers approach the manifold as this length scale goes to zero. Estimates on convergence and energy concentration are rather well understood when the elastic term has an isotropic structure; but anisotropic elastic energies – highly relevant for applications – necessitate genuinely new mathematical tools and most basic questions are open in that context. The limiting problem of anisotropic harmonic maps, or its counterpart for minimal surfaces, constitute classical open problems. Studying the singular perturbation problem should in the long term also shed some new light on these questions. Building on new tools we have recently started developing, our stay at the CIRM will enable us to continue our efforts towards a systematic understanding of these problems, which are both mathematically challenging and physically relevant. Our first goals will be: establishing uniform pointwise boundedness for general models; and understanding the singular set of specific anisotropic harmonic maps arising in liquid crystal models.
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De nombreux matériaux (supraconducteurs, micro-aimants, cristaux liquides etc.) peuvent être décrits par des applications à valeurs proches d’une certaine variété, sauf autour de singularités (appelées défauts en science des matériaux). Ces applications minimisent une énergie singulièrement perturbée où deux termes sont en compétition : un terme élastique quadratique qui pénalise les gradients, et un terme qui pénalise les valeurs éloignées de la variété limite. La longueur caractéristiques à laquelle ces deux termes interagissent est petite, et lorsqu’elle tend vers zéro les minimiseurs s’approchent de la variété limite. Lorsque le terme élastique a une structure isotrope, les propriétés de convergence et de concentration de l’énergie sont bien comprises ; mais les énergies élastiques anisotropes qui apparaissent dans les applications requièrent des outils mathématiques totalement nouveaux, et de nombreuses questions de base sont ouvertes dans ce contexte. Le problème limite de régularité des applications harmoniques anisotropes, ou son équivalent pour les surfaces minimales, sont des problèmes ouverts classiques. L’étude du problème de perturbation singulière devrait à long terme offrir aussi denouvelles perspectives sur ces questions. Nous avons récemment initié le developpement d’outils mathématiques adaptés, et notre séjour au CIRM nous permettra de poursuivre nos efforts vers une compréhension systématique de ces problèmes, qui sont à la fois très stimulants d’un point de vue mathématique, et hautement pertinents d’un point de vue physique. Nos premiers objectifs seront : obtenir des bornes uniformes ponctuelles pour des modèles généraux ; et comprendre l’ensemble singulier de certaines applications harmoniques anisotropes liées à un modèle de cristaux liquides.
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Participants
Andres Contreras (New Mexico State University)
Xavier Lamy (Université Toulouse III)
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Sponsor
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