Let K be a compact Lie group and V a finite dimensional hermitian vector space with unitary K-action. Let J : V → k ∗ denote the unique homogeneous quadratic moment map. The symplectic quotient is given by M0 := M/K where M := J −1 (0). By the work of Sjamaar and Lerman M0 is a stratified symplectic space equipped with a Poisson algebra C∞(M0) of smooth functions and a Poisson subalgebra R[M0] of regular functions. If K is finite, M = V , and we call M0 a linear symplectic orbifold.

​Letting G denote the complexification of K, the notion of k-large for k ∈ N intuitively measures the size of the representation (G, V ). Though it is known that only some small representations yield symplectic quotients that are symplectomorphic to linear symplectic orbifolds, many properties of linear symplectic orbifolds carry over to symplectic quotients. For instance, we have recently shown that when (G, V ) is 3-large, the (complexified) symplectic quotient has symplectic singularities and is graded Gorenstein, and in particular has rational singularities; we conjecture that the hypothesis of 3-large is unnecessary. The primary motivation of this project is to develop tools to explore results related to the meta-conjecture that “symplectic quotient singularities are as mild as symplectic orbifold singularities.” This includes exploring the largeness conditions required for (the complexification of) M to have rational singularities, studying the Picard group of the symplectic quotient, and developing alternative ways of describing symplectic quotients in small cases to avoid deficiencies that arise with the usual description in these cases.
​

Soient K un groupe de Lie compact et V un espace vectoriel hermitien de dimension finie muni d’une action unitaire de K. Soit J : V → k ∗ l’unique application moment homogène quadratique. Le quotient symplectique de V est M0 := M/K où M := J −1 (0). D’après Sjamaar et Lerman, M0 est un espace symplectique stratifié muni d’une algèbre de Poisson C∞(M0) de fonctions lisses et d’une sous-algèbre de Poisson R[M0] de fonctions régulières. Si K est fini, alors M = V , et nous appelons M0 un orbifold linéaire symplectique. Soient G le complexifié de K et V un G-module de dimension finie. On a la notion de k-grand, où k ∈ N, pour mesurer la “taille” de V . Même si seuls les “petits” G-modules ont des quotients symplectiques qui sont symplectomorphes à un orbifold linéaire symplectique, les quotients symplectiques quelconques satisfont plusieurs propriétés des orbifolds linéaires symplectiques. Par exemple, nous avons récemment démontré que si V est 3-grand, alors le quotient symplectique de V a des singularitiés symplectiques et est Gorenstein gradué. En particulier, le quotient symplectique a des singularités rationnelles. Nous conjecturons que l’hypothèse d’être“3-grand” n’est pas nécessaire. La motivation principale de notre projet est de construire des outils pour étudier la conjecture affirmant que “les singularités des quotients symplectiques sont presque aussi bonnes que celles des orbifolds linéaires symplectiques.” Ceci contient les questions de déterminer les conditions sur la taille de V pour que (la complexification de) M ait des singularités rationnelles, l’´etude du groupe de Picard d’un quotient symplectique, et le problème bien connu de décrire un bon quotient symplectique dans le cas où V est de très petite taille.