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Tropical Representations of Monoids and Matroids
Représentations tropicales de monoïdes et matroïdes 19 – 30 April 2021 |
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Tropical mathematics is carried out over idempotent semirings – a “weaker” structure than the structure of fields – which better suits for mathematical descriptions, incorporating a combinatorial view, of objects having a discrete nature. Digraphs, matroids, Young tableaux, and presented monoids are main examples for such objects. The drawback of using semirings (as they lack subtraction) is the inapplicability of standard algebraic methods. But, on the other hand, these methods are often replaced by combinatorial techniques, and therefore intrinsically incorporate combinatorial content, which makes the structure well-suited for framing combinatorial objects in algebraic sense.
Tropical matrices and their unique correspondence to weighted digraphs establish a main tool for algebraic representations and studying of combinatorial objects. With these representations sophisticated combinatorial and algorithmic aspects become transparent, making the theory more comprehensive and applicable. Tropical matrices have a very special behavior – they admit a nontrivial semigroup identity. This property is highly significant, and is carried over to any faithfully represented monoid, having direct implications in graph theory and automata theory. |
Les mathématiques tropicales sont fondées sur les semi-anneaux idempotents – un structure moins rigide que les corps – qui permettent la description d’objets de nature discrète et combinatoire. Les graphes orientés, les matroïdes, les tableaux de Young, les présentations de monoïdes en sont les principaux exemples. Le désavantage des semi-anneaux est l’impossibilité d’utiliser des méthodes algébriques qui nécessitent des soustractions. D’un autre côté, on peut utiliser des méthodes combinatoires et ces structures sont adaptées pour traduire des propriétés combinatoires en propriétés algébriques.
Les matrices tropicales et leur correspondance bijective avec les graphes orientés pondérés sont un outil de choix pour créer des représentations algébriques et étudier des objets combinatoires. Grâce à ces représentations des propriétés combinatoires et algorithmiques compliquées s’éclairent, rendant la théorie plus compréhensible et plus applicable. Les matrices tropicales ont un comportement très spécial : elles admettent des identité de semigroupe. Cette propriété très significative, avec des interprétations en terme de graphes et d’automates, est héritée par tout monoïde fidèlement représenté. |
Zur Izhakian (University of Aberdeen)
Glenn Merlet (Aix-Marseille Université)
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