RESEARCH IN RESIDENCE
Geometric inequalities via trace formulas
Inégalités géométriques via formules de traces
Inégalités géométriques via formules de traces
30 May – 10 June, 2022
Description
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The systole of a metric space is the length of its shortest non-contractible closed curve, and its kissing number is the number of homotopically distinct such shortest curves. The study of these two invariants is classical for flat tori. The systole is also a much studied invariant for other spaces of constant curvature, but much less is known about kissing numbers. In recent work, we obtained upper bounds for the kissing number of closed hyperbolic manifolds and of regular graphs. In both cases, the upper bound is a sub-quadratic function of volume.
For closed hyperbolic manifolds, our proof relies on the Selberg trace formula. The latter equation relates the set of lengths of closed geodesics in a hyperbolic manifold to the eigenspectrum of its Laplace operator. While it is known that each side of this equation determines the other, the precise relationship between the two is rather mysterious. In particular, the equation depends on a pair of functions that are Fourier transform of one another. By choosing functions that are make the spectral side of the equation positive, we were able to extract an inequality involving the geometric side alone. However, there is ample room for improvement. The goal of this Research in Pairs is to refine the above trace formula method to prove sharp inequalities on the systole, the kissing number, the first positive eigenvalue of the Laplacian and its multiplicity on closed hyperbolic surfaces of small genus. The objectives of the meeting are to set up optimization problems for the four quantities we want to bound and to use linear programming to solve these problems numerically. |
La systole d’un espace métrique est définie comme la longueur de sa courbe fermée non-contractile la plus courte et son nombre de contacts (ou “kissing number”) est égal au nombre de classes d’homotopie distinctes de telles courbes les plus courtes. L’étude de ceux deux invariants est classique pour les tores plats. La systole a aussi été étudiée pour d’autres espaces à courbure constante, mais on en sait beaucoup moins à propos du nombre de contacts. Dans des travaux récents, nous avons obtenu des bornes supérieures pour le nombre de contacts des variétés hyperboliques fermées et des graphes réguliers. Dans les deux cas, la borne supérieure est une fonction sous-quadratique du volume.
Pour les variétés hyperboliques fermées, notre preuve repose sur la formule des traces de Selberg. Cette équation relie l’ensemble des longueurs des géodésiques fermées dans une variété hyperbolique au spectre des valeurs propres de son Laplacien. Bien qu’il soit connu que chaque côté de cette équation détermine l’autre, la relation précise entre les deux demeure plutôt mystérieuse. Ceci est dû au fait que l’équation dépend d’une paire de fonctions qui sont la transformée de Fourier l’une de l’autre. En choisissant des fonctions qui rendent le côté spectral de l’ équation positif, nous avons été en mesure d’extraire une inégalité concernant uniquement le côté géométrique. Toutefois, notre méthode laisse amplement de place à l’amélioration. Le but de cette Recherche en Paires est de peaufiner la méthode de la formule des traces mentionnée ci-haut afin de prouver des bornes optimales sur la systole, le nombre de contacts, la première valeur propre positive du Laplacien et sa multiplicité, pour les surfaces hyperboliques fermées de petit genre. Les objectifs de la rencontre sont d’établir des problèmes d’optimisation appropriés pour chacune de ces quatre quantités et d’utiliser la programmation linéaire afin de les résoudre à l’aide de calculs numériques. |
Participants
Maxime Fortier Bourque (University of Glasgow)
Bram Petri (Sorbonne Université)
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Sponsor
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