RESEARCH IN RESIDENCE
The Virasoro Algebra as a Limit of Temperley-Lieb Algebras via Fusion Categories
L’algèbre de Virasoro comme limite d’algèbres de Temperley-Lieb via catégories de fusion
8 – 19 July 2024
Participants
Kenji Iohara (Université Claude Bernard Lyon 1)
Gustav Lehrer (The University of Sydney)
Ruibin Zhang (University of Sydney)
The core problem of this project stems from the heuristic articulated by many authors in mathematics and mathematical physics over an extended period, (e.g. [1, 2, 6, 4], etc.) that when q 2 is a primitive ` th root of unity, there is a connection between limn→∞ TLn(q) where TLn(q) is the Temperley-Lieb algebra on the one hand, and the Virasoro algebra L = ⊕i∈ZCLi ⊕ CC on the other. The search for such a connection has hitherto led to many tantalising analogies, but as yet no definitive theorems.
We shall pursue two distinct approaches to the problem. First, in our work [5] we have already constructed a fusion category which has heuristic connections with the discrete series representations of the Virasoro algebra [2]. This is in the general context of regarding the Temperley-Lieb algebras as endomorphism algebras in a category, and relating that category to a category of representations arising from the theory of quantum groups [3].
Our second general approach relates to the eigenvalues of the Hamiltonian operator Hn on the Temperley-Lieb algebra, which is known to be expressible as the sum of the “standard” (or Kazhdan-Lusztig) generators. The determination of the eigenvalues of Hn is a problem of independent interest, and our game plan is to achieve this at least for some eigenvalues by means of cellular theory for the Temperley-Lieb category. If this is successful, one might hope that it will be possible to compute the limit of an eigenspace of Hn as n → ∞ for some eigenvalue cell by cell.
Le problème central de ce projet a son origine sur un lien entre limn→∞ TLn(q) d’un côté, où TLn(q) est l’algèbre de Temperley-Lieb, et l’algèbre de Virasoro L = ⊕i∈ZCLi ⊕ CC de l’autre, lorsque q 2 est une l-ième racine d’unité. De nombreux recherches ont été effectuées en physique aussi bien qu’en mathématiques sur une longue période, (e.g., [1, 2, 6, 4], etc.,) par une méthode heuristique. La recherche d’une telle connexion a conduit à de nombreuses tentatives similaires, mais les théorèremes obtenus sont loin d’être définitifs.
Nous allons poursuivre deux approches distinctes du problème. Tout d’abord, dans notre travail [5] nous avons déjà construit une catégorie de fusion qui a des connexions heuristiques avec les représentations dans une série discrète de l’algèbre de Virasoro [2]. Il se situe dans le contexte général considérant les algèbres de Temperley-Lieb comme algèbres d’endomorphismes dans une catégorie et faisant lier cette catégorie à une catégorie de représentations découlant de la théorie des groupes quantiques [3].
Notre deuxième approche générale concerne les valeurs propres de l’opérateur hamiltonienne Hn sur l’algèbre de Temperley-Lieb TLn(q); c’est connu qu’il peut être exprimé sous la forme de la somme des générateurs “standard” (ou de KazhdanLusztig). La détermination des valeurs propres de Hn est un problème d’intérêt indépendant, et notre plan de jeu est de la réaliser au moins partiellement, à l’aide de la théorie cellulaire pour la catégorie de Temperley-Lieb. Si cela se réalise, on pourra espérer qu’il serait possible de calculer la limite n → ∞ d’un sous-espace propre de Hn, pour certaine valeur propre, cellule par cellule.
References
[1] Connes, Alain and Evans, David E., “Embedding of U(1)-current algebras in noncommutative algebras of classical statistical mechanics”, Comm. Math. Phys. 121 (1989), no. 3, 507–525.
[2] Goddard P, Kent A. and Olive D., “Unitary representations of the Virasoro and superVirasoro Algebras”, Commun. Math. Phys. 103 (1986), 105–119.
3] Graham, J. J. and Lehrer, G. I., “ Diagram algebras, Hecke algebras and decomposition numbers at roots of unity”, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. (4) ´ 36 (2003), no. 4, 479–524.
[4] Gainutdinov, A. M., Read, N. and Saleur, H., “ Associative algebraic approach to logarithmic CFT in the bulk: the continuum limit of the gl(1|1) periodic spin chain, Howe duality and the interchiral algebra”, Comm. Math. Phys. 341 (2016), no. 1, 35–103.
[5] Iohara, K.; Lehrer, G. I.; Zhang, R. B. “Temperley-Lieb algebras at roots of unity, a fusion category and the Jones quotient”, Math. Res. Lett. 26 (2019), no. 1, 121–158.
[6] Jones, V. F. R., “Hecke algebra representations of braid groups and link polynomials”, Ann. of Math. (2) 126 (1987), no. 2, 335–388.
[7] Verlinde, Erik, “Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory”, Nuclear Phys. B 300 (1988), no. 3, 360–376.
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