The aim of the project is to study planar polygon spaces supplied with various potential functions in different natural settings. More specificly, we will consider certain polygons with fixed perimeter, the so-called necklaces with sliding beads, where some edges of the polygon have fixed length.

The first aim is to determine the topology and geometry of the configuration spaces of those necklaces, which form a hierarchy of subvarieties of a projective space. Secondly, we plan to investigate the Morse theory related to the oriented area function and then extend this approach to other functions on the configuration spaces such as Coulomb potential and mean -field trigonometric models.

The project fills in the ‘gap’ between two extremal cases: (1) the linkage case, where all edges are fixed and (2) no extra conditions on edges. Both cases are well understood and have descriptions in geometric terms.
​The fixed perimeter condition involves non-smooth structures, where the Clarke subdifferential will be used for critical point analysis. We intend to determine the homologies of the configuration spaces, the critical points of the potentials and their Morse indices.

L’objectif du projet est d’étudier des espaces polygonaux planaires munis de diverses fonctions potentielles et dans différents environnements naturels. Plus spécifiquement, nous examinerons certains polygones à périmètre fixe, appelés colliers à billes coulissantes, dans lesquels certains bords du polygone ont une longueur fixe.

Le premier objectif est de déterminer la topologie et la géométrie des espaces de configuration de ces colliers, qui forment une hiérarchie de sous-variétés d’un espace projectif. Deuxièmement, nous prévoyons d’étudier la théorie de Morse relative à la fonction d’aire orientée, puis d’étendre cette approche à d’autres fonctions des espaces de configuration, telles que le potentiel de Coulomb et les modèles trigonométriques à champ moyen.

Le projet comble le «fossé» entre deux cas extrêmes: (1) le cas de liaison, où toutes les arêtes sont fixes, et (2) aucune condition supplémentaire sur les arêtes. Les deux cas sont bien compris et ont des descriptions en termes géométriques.
​La condition de périmètre fixe implique des structures non lisses, où la sous-différentielle de Clarke sera utilisée pour l’analyse des points critiques. Nous avons l’intention de déterminer les homologies des espaces de configuration, les points critiques des potentiels et leurs indices Morse.