RESEARCH IN PAIRS
The Slice-Ribbon Conjecture and Non-Slice Algebraic Knots
La conjecture Slice-Ruban et les noeuds algébriques
La conjecture Slice-Ruban et les noeuds algébriques
22 – 26 July 2019
Description
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The slice-ribbon conjecture is a driving question both in knot theory and in 4-dimension altopology. Briefly, our goal is to prove that large infinite families of linear combinations of algebraic knots are not slice. Since the sliceness of any such knot would provide a counterex ample to this widely studied conjecture, we expect that our work will have a strong impact in low-dimensional topology. Next, we provide some additional mathematical context.
Aknot is a smooth embedding S1↪S3. A knot is slice if it bounds a smoothly embedded disc D2↪D4 and ribbon if it bounds an immersed disc D2↪→S3 with only ribbon singularities. Slice knots are ribbon, but the validity of the converse is an open question, known as the slice-ribbon conjecture. While it has been proved for several infinite families of knots, potential counter examples arise from linear combinations of algebraic knots. The sliceness of any such knot would provide a counter example to the slice-ribbon conjecture, whence the focus of this project. |
La conjecture slice-ruban est une question activement étudiée aussi bien en théorie des noeuds qu’en topologie de dimension 4. En bref, notre but est de prouver que certaines familles de noeuds algébriques ne sont pas slices. Si ces noeuds étaient slice, ils fourniraient des contre-exemples à la conjecture. Pour cette raison, nous sommes certains que ce travail aura un large impact en topologie de basse dimension. Donnons maintenant un peu plus de contexte mathématique.
Un noeud est un plongement lisse S1↪S3. Un noeud est slice s’il borde un disque D2↪D4 plongé de façon lisse et est ruban s’il borde un disque immergé D2↪→S3 dont les seules singularités sont de type ruban. Les noeuds slice sont rubans mais la validité de la réciproque est une question ouverte : il s’agit de la conjecture slice-ribbon. Bien que la conjecture ait été prouvée pour plusieurs familles infinies de noeuds, l’étude de combinaisons linéaires de noeuds algébriques pourrait mener à des contre-exemples. En effet, si une telle combinaison linéaire s’avérait être slice, la conjecture slice-ruban serait fausse, d’où l’objectif de ce travail. |
Participants :
Anthony Conway (Durham University)
Min Hoon Kim (Korea Institute for Advanced Study (KIAS)
Wojciech Politarczyk (Warsaw University & Adam Mickiewicz University)
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Sponsor
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