The objective of the initial version published in 2008 is described in the critics of SIAM, MathSciNet and Zentralblatt. The present revised version has for objective to offer graduate students and researchers (in applied mathematics, physcics, …) a reference text presenting recent methods based on the achievements of mathematicians such as Hermite, Painlevé and Nevanlinna. These methods lead to important results on the explicit integration of nonlinear ordinary or partial differential equations or of finite difference equations. At the same time we collect, for the first time, numerous applications of either physical or mathematical interest in which Painlevé functions naturally occur.
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Pour l’objectif de la version initiale de 2008, lire les critiques de SIAM, MathSciNet et Zentralblatt. L’objectif de cette version révisée est de mettre à disposition des étudiants gradués et des chercheurs (mathématiques appliquées, physique, etc) un texte de référence présentant des méthodes récentes fondées sur les travaux de mathématiciens tels Hermite, Painlevé et Nevanlinna. Ces méthodes conduisent à d’importants résultats pour l’intégration explicite d’´equations différentielles, aux dérivées partielles ou aux différences finies non-linéaires. Nous en profitons pour rassembler, pour la première fois, de nombreuses applications d’intérêt physique et mathématique où interviennent les fonctions de Painlevé.