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RESEARCH IN PAIRS
Nijenhuis Geometry
Géométrie de Nijenhuis

31 August – 11 September 2020

Description
Nijenhuis operators are defined to be fields of endomorphisms with vanishing Nijenhuis torsion. They appeared as independent objects and play an essential role in different branches of geometry and mathematical physics. The current state of art in this theory is as follows: The definition is well known, basic properties are understood and local normal forms are classified in certain particular cases.

Our main goal is to initiate the study of Nijenhuis operators from a global viewpoint. We also aim at understanding their singularities.
Our goals are:
(A) Local description: to what ‘normal’ form can one bring a Nijenhuis operator near almost every point by a local coordinate change?

(B) Singular points: what does it mean for a point to be generic or singular in the context of Nijenhuis geometry? What singularities are non-degenerate? What singularities are stable? How do Nijenhuis operators behave near non-degenerate and stable singular points?
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(C) Global properties: what restrictions on a Nijenhuis operator are imposed by compactness of the manifold? And conversely, what are topological obstructions on a Nijenhuis manifold carrying a Nijenhuis operator with specific properties (e.g. with no singular points)?
Les opérateurs de Nijenhuis sont définis comme étant des champs d’endomorphismes dont la torsion de Nijenhuis est nulle. Ils sont apparus comme des objets indépendants et jouent un rôle essentiel dans différentes branches de la géométrie et de la physique mathématique. L’état actuel de l’art dans cette théorie est le suivant : La définition est bien connue, les propriétés de base sont comprises et les formes normales locales sont classées dans certains cas particuliers.

Notre objectif principal est d’ initier l’étude des opérateurs de Nijenhuis d’un point de vue global et d’étudier leurs singularités.
Nos objectifs sont :
A) Description locale : quelles sont les “formes normales” auxquelles on peut ramener un opérateur de Nijenhuis au voisinage d’un point genérique après changement de coordonnées locales? 

(B) Points singuliers : que signifie pour un point d’être générique ou singulier dans le contexte de la géométrie de Nijenhuis ? Quelles sont les singularités non dégénérées ? Quelles singularités sont stables ? Comment les opérateurs de Nijenhuis se comportent-ils au voisinage des points singuliers stables et non degénérés? 
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(C) Proprietés globales: quelles restrictions sur un opérateur de Nijenhuis sont imposées par la compacité de la variété? Inversement, quelles sont les obstructions topologiques sur une variété admettant un opérateur de Nijenhuis ayant des propriétés spécifiques (par exemple d’être sans singularité)? 
Participants

Alexey Bolsinov (University of Loughborough)
Vladimir Matveev (University of Jena)

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