Determination of Reducing Submodules of Hilbert Modules Possessing an Invariant Kernel
Détermination des sous-modules réducteurs des modules de Hilbert possédant un noyau invariant

14 – 25 June 2021

Let G be a finite group and Ω be a domain in C n such that G acts on Ω. Assume that H ⊆ Hol(Ω) be a Hilbert space with a G-invariant reproducing kernel K, then {P% : % ∈ Gb} is a family of orthogonal projections which add up to the identity operator on H, where Gb is the unitary dual of G. One of the basic consequences is the description of reducing submodules of H, viewed as a module over the ring of invariants C[z] G, via this family of projections. We are interested to study the questions of minimality of these reducing submodules and mutual inequivalence over the invariant ring C[z] G, where G is a finite pseudo-reflection group. We feel that the Chevalley-Shephard-Todd theorem characterizing the finite pseudo-reflection groups in terms of their invariant ring and our extension of this theorem in the category of holomorphic functions could be a key step towards this study

Soit G un groupe fini et Ω un domaine dans C n tel que G agit sur Ω. Supposons que H ⊆ Hol(Ω) soit un espace de Hilbert avec un noyau reproducteur G -invariant K, alors {P% : % ∈ Gb} est une famille de projections orthogonales l’opérateur d’identité sur H, où Gb est le dual unitaire de G Une des conséquences fondamentales est la description de la réduction des sous-modules de H, considéré comme un module sur le ring des invariants C[z] G, via cette famille de projections. Nous sommes intéressés à étudier les questions de minimalité de ces sous-modules réducteurs et d’inégalité mutuelle sur l’anneau invariant C[z] G, où G est un groupe fini de pseudo-réflexions. Nous pensons que le théorème de Chevalley-ShephardTodd caractérisant les groupes finis de pseudo-réflexions en termes d’anneau invariant et que l’extension de ce théorème dans la catégorie des fonctions holomorphes pourrait constituer une étape clé dans cette étude.

Shibananda Biswas (Indian Institute of Science education and Research Kolkata)
Misra Gadadhar (Indian Institute of Science, Bangalore)
Subrata Shyam Roy ​(Indian Institute of Science education and Research Kolkata)