RESEARCH IN PAIRS
Semi-Explicit Discretizations of Elliptic-Parabolic Problems
La discrétisation semi-explicite des problèmes de type elliptique-parabolique

12 – 23 August 2019
Description
One challenging task in the field of geomechanics is to compute the deformation of porous media saturated by an incompressible viscous fluid. This hydro-mechanical coupling is called poroelasticity and is modeled mathematically by a coupled partial differential equation of elliptic-parabolic type. For the numerical approximation of the displacement and the pressure variables one usually applies the implicit Euler scheme for the discretization in time and a Galerkin ansatz for the spatial discretization. Due to the coupling, this leads to very large linear systems, which need to be solved in every time step.
The aim of this project is to analyze convergence properties of semi-explicit methods applied to general linear elliptic-parabolic problems. This means that the implicit Euler scheme for the temporal discretization is replaced by an explicit-implicit version of it. As a consequence, the resulting linear systems decouple, which leads to a tremendous reduction of the computational complexity.
​Within this project, we also consider generalizations such as multiple-network poroelasticity models. Such problems appear, e.g., in medical applications and benefit even more from a possible decoupling. Further, we like to focus on elliptic-parabolic systems including heterogeneous coefficients. In this case, the semi-explicit discretization in time is combined with multiscale techniques in space.
Une difficulté importante dans le domaine de la géomécanique est de calculer la déformation des médias poreux saturés par des liquides incompressibles et visqueux. Ce couplage hydromécanique, aussi appelé poroélasticité, peut être modélisé mathématiquement par des ´equations aux dérivées partielles couplées de type elliptiqueparabolique. La procédure standard pour approximer numériquement le déplacement et la pression consiste à combiner la méthode de Galerkin pour discrétiser l’espace et la méthode d’Euler implicite pour discrétiser le temps. Les systèmes linéaires résultants de cette discrétisation sont typiquement très grands et doivent être résolus à chaque pas de temps. L’objectif du présent projet est d’analyser les propriétés de convergence des méthodes semi-explicites appliquées aux problèmes linéaires elliptiques-paraboliques généraux. En d’autres termes, on remplace l’approche implicite pour la discrétisation temporelle par une discr´étisation explicite-implicite. Ceci a pour conséquence le découplage des systèmes linéaires résultant de la discrétisation et la réduction significative de l’effort de calcul nécessaire à la résolution. Dans ce projet, nous considérons aussi la généralisation de ces idées à des modèles de réseaux poroélastiques multiples. De tels modèles sont rencontrés, par exemple, dans le domaine médical et pourraient bénéficier plus encore dun potentiel découplage. De plus, nous nous intéressons aussi aux systèmes elliptiques-paraboliques à coefficients hétérogènes. Pour traiter de tels problèmes, la discrétisation temporelle semi-explicite est combinée avec des techniques multi-échelles.
Participants

Robert Altmann (University of Augsburg)
Roland Maier (University of Augsburg)
Benjamin Unger (TU Berlin)

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