This project aims to investigate the implications of arithmetic properties of linear differential equations on the computational complexity of their numerical solution. We will focus on E- and G-functions, which are power series solutions of differential equations that additionally satisfy strong arithmetic conditions andplay a major role in Diophantine approximation. While the complexity of computing solutions of arbitrary ODEs with polynomial coefficients to p places is known to be essentially linear in p, there are indications (in particular in the form of results stated without proof by Chudnovsky and Chudnovsky in the late 1980s) that number-theoretic properties could lead to slightly better complexity bounds. Our main goal for this research session is to reconstruct the full algorithm behind the remarks of Chudnovsky and Chudnovsky.
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Notre projet va consister à nous focaliser sur le cas particulier de fonctions différentiellement finies de nature arithmétique, plus précisément sur les E– et G-fonctions, qui ont été introduites par Siegel [19] en 1929. Il s’agit de séries entières différentiellement nie sur Q(z) et dont les coefficients de Taylor algébriques vérifient certaines conditions de croissance archimédienne et non-archimédienne. Elles généralisent exp(z) et log(1 − z) respectivement, et ont été (et continuent d’être) très étudiées en approximation diophantienne depuis les travaux pionniers de Siegel, Shidlovsky et Galochkin. Grâce aux travaux plus récents d’André, Beukers, Chudnovsky, Katz entre autres (voir [2, 8] pour les références), on connaît maintenant en détails les propriétés fines des équations différentielles qu’elles vérifient (nature de leurs singularités et de leurs exposants entre autres). Nous voulons exploiter ces propriétés spéciales afin

(1) de donner une preuve complète des annonces des Chudnovsky de [6] rappelées dans la partie précédente, avec production de l’algorithme associé (qui n’a pas été publié à notre connaissance).
(2) d’élaborer une approche pour aller au delà dans ce cadre arithmétique, en exploitant les progrès faits depuis 30 ans sur le calcul numérique des fonctions différentiellement finies. Comme indiqué à la fin de la première partie, la résolution de ces problèmes s’appliquera au calcul de nombreuses fonctions spéciales ou des périodes, car ce sont bien souvent des valeurs de E– ou de G-fonctions.