While the Lipschitz equivalence of complex curve germs is controlled by the topology only, this is no longer true in more variables. For functions of two variables, the first non-topological continuous bi-Lipschitz invariants have been found by Henry and Parusinski. Recently, by using the concentration of curvature of the Milnor fibre and the gradient canions of the polar curves, we have found new discrete bi-Lipschitz invariants of functions in two variables.
If one studies families, then more results are available. At the topological level, it is wellknown that the topological equisingularity of a family of holomorphic functions ft : (C n , 0) → (C, 0) is controlled by the constancy of just one number, the Milnor number µ(ft), except of the case n = 3 which is still open.
​As for the Lipschitz equisingularity, the problem is much more delicate. In dimension 2 the research is still going on and in more than 2 variables very few results are known. Our project is twofold : 1. to characterise the bi-Lipschitz equisingularity of families of functions in 2 variables, and 2. to find bi-Lipschitz invariants of functions in n > 2 variables.

​Si l’équivalence lipschitzienne des courbes complexes est controlée par la topologie, ceci n’est plus vrai en plus grande dimension. Pour des fonctions de deux variables complexes, Henry et Parusinski ont trouvé les premiers invariants bi-Lipschitz continus et non-topologiques. En utilisant la concentration de courbure de la fibre de Milnor ainsi que les canyons des courbes polaires, on a trouvé récemment des nouveaux invariants bi-Lipschitz discrets pour les fonctions de deux variables.
On a plus de résultats quand on étudie des familles (d’espaces ou de fonctions). Au niveau topologique, on sait par exemple que la trivialité topologique d’une famille de functions holomorphes ft : (C n , 0) → (C, 0) est controlée pas la constance d’un seul nombre, le nombre de Milnor µ(ft), avec l’exception notable du cas n = 3 qui est encore ouvert.
​Dans la catégorie de Lipschitz le problème semble pourtant beaucoup plus délicat. En dimension 2, la recherche continue et en plus de deux variables très peu de résultats sont connus. Ainsi notre projet est double : 1. caractériser l’équisingularité bi-Lipschitz des familles de fonctions de deux variables et 2. trouver des invariants bi-Lipschitz des functions en n > 2 variables.