Gröbner rings have been introduced by Ihsen Yengui as strongly discrete coherent rings for which some kind of Buchberger algorithm can work for the associated polynomial rings.
The three participants have already worked together on the topic. See the paper: M. Gamanda, H. Lombardi, S. Neuwirth, I. Yengui.
The syzygy theorem for Bézout rings. To appear in Mathematics of Computation.
We will try to obtain generalisations and improvements w.r.t. this paper.
We work in the frameworks of Constructive Mathematics and Computer Algebra.
It has been shown that, not only strongly discrete coherent Noetherian rings, but also absolutely flat rings and dimension 1 Prüfer domains are Gröbner rings. It should be interesting to best understand the common features of these classes of rings.
In the same spirit, a constructive proof that valuation domains are stably coherent has been given.
Many results in this direction are collected in the book of I. Yengui. Constructive Commutative Algebra – Projective modules over polynomial rings and dynamical Gröbner bases. Lecture Notes in Mathematics, no 2138, Springer 2015.
See also the references 21, 24, 26, 27, 28, 31 in the publications of the CV of I. Yengui.
Finally we should want also to use dynamical methods (inspired by lazy evaluation in Computer Algebra) in order to improve the feasibility of our algorithms.

L’objectif de la recherche est d’approfondir la compréhension des « Gröbner rings ». Ce sont les anneaux A qui ont les propriétés suivantes:
1) l’anneau est cohérent: les idéaux de type fini sont de présentation finie
2) l’anneau est fortement discret: pour tout idéal de type fini, on dispose d’un test pour l’appartenance d’un élément à l’idéal
3) pour certains ordres monomiaux (ou pour tous) sur les anneaux A[X_1,\dots,X_n] les idéaux de type fini ont un idéal de tête de type fini.
Les participants espèrent obtenir une généralisation et une amélioration des résultats obtenus dans l’article à paraître:
M. Gamanda, H. Lombardi, S. Neuwirth, I. Yengui. The syzygy theorem for Bézout rings. Mathematics of Computation,
Les participants désirent aussi comprendre, lorsque les conditions
1) et 2) son satisfaites, indépendamment du fait que l’anneau satisferait la condition 3), si l’on peut donner un algorithme pour calculer un système générateur fini de l’idéal de tête quand celui-ci est de type fini.
Les participants désirent enfin comprendre dans quelle mesure la méthode dynamique (inspirée de l’évaluation paresseuse en Calcul Formel) permet d’améliorer les algorithmes étudiés.
Les participants ont déjà travaillé sur ces sujets et obtenu des résultats significatifs.
Voir par exemple le livre de Yengui: Constructive Commutative Algebra – Projective modules over polynomial rings and dynamical Gröbner bases. Lecture Notes in Mathematics, no 2138, Springer 2015.