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Geometric Aspects of Non-commutative Principal Bundles
Aspects géométriques des faisceaux principaux non commutatifs 15-26 October 2018 |
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The tremenduous work of Hopf, Stiefel, and Withney in the 1930’s demonstrated the importance of principal bundles for applications to geometry and mathematical physics. In the noncommutative setting the notion of a free coaction of a quantum group on a C∗ -algebra provides a natural framework for noncommutative principal bundles. Similar to their classical counterparts, noncommutative principal bundles are not only of purely mathematical interest. Indeed, besides their structure theory and relation with K-theory, which certainly appeal to operator algebraists and functional analysts, noncommutative principal bundles are becoming increasingly prevalent in various applications of geometry and mathematical physics. Unfortunately, geometric aspects of noncommutative principal bundles have not been studied yet in a conclusive way, mainly due to the abscence of an easily accessible notion of a “differentiable structure”. The main purpose of this research project is to study the noncommutative geometry of principal bundles by means of Connes’ spectral triples, which provide a natural framework to do geometry by analogy with the Riemannian spin geometry of a classical manifold.
The successful treatment of the research project will constitute an important contribution to noncommutative geometry by providing new insights, concepts and tools. For instance, our investigation may lead to a geometric oriented notion of a connection on a noncommutative principal bundle, that is, a tool that yields a notion of parallel transport or, more generally, of parallelity on a noncommutative principal bundle and on associated noncommutative vector bundles. Moreover, the main objective of the research project has due to its intimate connection with spectral triples the potential to give new insights into mathematical physics by providing much more possibilities of modeling, for example, phenomena of quantum field theory and particle physics in a geometric setting. In this respect, we recall that in order to introduce gauge theories on noncommutative spaces, one usually starts from modules, interpreted as spaces of sections of a vector bundle with a noncommutative base. However, the mathematical description for classical gauge theories is given in terms of principal bundles. Hence, a geometric oriented approach to noncommutative principal bundles could yield a more natural framework for studying noncommutative gauge theories. |
Le travail considérable de Hopf, Stiefel et Withney dans les années 1930 a démontré l’importance des fibrés principaux pour des applications à la géométrie et à la physique mathématique. Dans le cadre non commutative, la notion de coaction libre d’un groupe quantique sur une algèbre C ∗ -fournit un cadre naturel pour les fibrés principaux non commutatives. De même que leurs homologues classiques, les fibrés principaux non commutatives ne sont pas seulement d’un intérêt purement mathématique. En effet, en plus de leur théorie de structure et de leur relation avec K-théorie, qui fait certainement appel aux algèbristes des opérateurs et aux analystes fonctionnels, les fibrés principaux non commutatives sont de plus en plus répandus dans diverses applications de la géométrie et de la mathématique. Malheureusement, les aspects géométriques des fibrés principaux non commutatives n’ont pas encore été étudiés de façon concluante, principalement en raison de l’absence d’une notion facilement accessible d’une “structure différentiable”. Le but principal de ce projet de recherche est d’étudier la géométrie non commutative des fibrés principaux au moyen des triplets spectraux de Connes, qui fournissent un cadre naturel pour faire la géométrie par analogie avec la géométrie spin riemannienne d’une variété classique.
Le traitement réussi du projet de recherche constituera une contribution importante à la géométrie non commutative en fournissant des nouvelles idées, concepts et outils. Par exemple, notre investigation peut conduire à une notion géométrique d’une connexion sur un fibré principal non commutative, c’est-à-dire un outil de transport parallèle ou plus généralement de parallélisme sur un fibré principal non commutative et sur un fibré vectoriel associé non commutative. De plus, l’objectif principal du projet de recherche est de pouvoir donner des nouvelles perspectives à la physique mathématique grâce à ses liens étroits avec les triplets spectraux, en offrant par exemple des phénomènes de théorie des champs quantiques et de physique des particules dans un contexte géométrique. À cet égard, nous rappelons que pour introduire des théories de jauge sur des espaces non commutatives, on part généralement de modules, interprétés comme des espaces de sections d’un fibré vectoriel à base non commutative. Cependant, la description mathématique des théories de jauge classiques est donnée en termes de fibrés principaux. Par conséquent, une approche orientée géométrique des un fibrés principaux non commutative pourrait fournir un cadre plus naturel pour l’étude des théories de jauge non commutative. |
