RESEARCH IN PAIRS
The Beurling-Malliavin Density and its Connections with Pólya Density
La densité de Beurling-Malliavin et ses connexions avec la densité de P
ólya
18 February – 1st March 2019
Description
 The aim of this research is twofold. First, we propose to investigate the relations between two different definitions of the Beurling–Malliavin density. Precisely1) the definition given in the original paper [1];2) the definition as it is given (with a somewhat naive argument) in the book [2]. These two definitions are usually stated in the existing literature as being equivalent, but no rigorous proof of this equivalence seems to be available. The second part of the present research concerns the investigation of the possible connections between the concepts of Beurling–Malliavin density and of Pólya density, as given in [3]. ​The original definition 1) was given in the context of the celebrated Beurling-Malliavin theorem on the completeness radius of a sequence of complex exponentials; the definition of Pólya density originated in Pólya’s investigation of lacunary series. Anyway, these concepts have a more general interest in Theory of Numbers, mainly in the framework of arithmetical densities of natural numbers. References [1] A. Beurling and P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118 (1967), 7–93.[2] P. Koosis, The Logarithmic Integral II, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.[3] Pólya, G. Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreichen, Math. Zeitschrift 29 (1929), 549–640. Le but de cette recherche est double. D’abord nous nous proposons d’éclaircir les liens entre les deux différentes définitions de la densité de Beurling–Malliavin. Précisément1) la définition donnée dans l’article initial [1];2) la définition présentée comme équivalente (mais avec un argument imprécis) dans le livre [3]. Dans plusieurs articles, ces deux définitions sont considérées comme équivalentes, mais à notre connaissance, il n’y a pas de preuve publiée de cette équivalence. Le deuxième objectif de cette recherche consiste à étudier les connexions entre la densité de Beurling–Malliavin et la densité de Pólya, définie dans [4]. La définition initiale 1) a été donnée dans le cadre du célèbre théorème de Beurling-Malliavin sur le rayon de complétude (“completeness radius” ou “closure radius” en anglais; J.-P. Kahane [2] l’appelle “rayon de totalité”) d’une suite de fonctions exponentielles complexes; la définition de la densité de Pólya a ses origines dans les ´etudes de Pólya concernant les séries entières lacunaires. Toutefois, ces concepts ont un intérêt plus général en Théorie des Nombres et notamment dans le cadre des densités arithmétiques de nombres naturels.​ ​References [1] A. Beurling and P. Malliavin, On the closure of characters and the zeros of entire functions, Acta Math. 118 (1967), 7–93.[2] P. Koosis, The Logarithmic Integral II, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.[3] Pólya, G. Untersuchungen über Lücken und Singularitäten von Potenzreichen, Math. Zeitschrift 29 (1929), 549–640.
Participants

Rita Giuliano (University of Pisa)
Georges Grekos (Université Jean Monnet St Etienne)