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Fourier Matrices for Spetses
Matrices de Fourier pour les Spetses 17 – 28 September 2018 |
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This is a continuation of similar small groups of research at CIRM from 2012 to 2017, which produced a report “Split Spetses for primitive reflection groups” which appeared as an Astérisque volume in 2014.
Lusztig’s work has shown that many properties of finite reductive groups can be combinatorially computed from the Weyl group, or in the case of a twisted group from the corresponding reflection coset : for instance, the unipotent degrees, or the Fourier matrix. The research line started by Broué, Malle and Michel in 1993 during a conference in Spetses island (Greece) is to try the same constructions replacing the Weyl group by a complex reflection group. This works for the class of groups called Spetsial. Even in the case of Weyl groups, the construction of Fourier matrices achieved by Lusztig in 1984 was completed case by case. During our last Research in Quadruples, we discovered a new way of defining these matrices as well as other geometric operators (such as the Frobenius map or the Shintani twisting operator) using the cohomology of Deligne-Lusztig varieties. This new approach – which relies on the intrinsic properties of the finite reductive groups and not on the classification – has a natural generalisation to Spetses. This leads many new stimulating perspectives of research that we would like to investigate, including • the explicit determination of Fourier matrices and character sheaves for spetses ; |
Ce projet est la suite de séances de recherche à trois ou quatre au CIRM de 2012 à 2015, qui ont produit le volume « Split Spetses for primitive reflection groups » paru en 2014 dans Astérisque.
Le travail de Lusztig a montré qu’un certain nombres d’invariants numériques des groupes réductifs finis, comme les degrés unipotents ou la matrice de Fourier, peuvent se calculer combinatoirement à partir du groupe de Weyl (ou du « reflection coset » correspondant, dans le cas des groupes tordus). Le projet entrepris par Broué, Malle et Michel pendant une conférence sur l’île de Spetses (Grèce) en 1993, est d’essayer de définir des constructions analogues, en rempla- çant le group de Weyl par un groupe de réflexions complexes. Cela marche pour la classe de groupes dits « Spetsiaux ». Même dans le cas des groupes de Weyl, la construction des matrices de Fourier de Lusztig en 1984 s’obtient au cas par cas. Lors de notre dernière séance de recherche à quatre, nous avons découvert un nouveau moyen de définir ces matrices ainsi que d’autres opérateurs géométriques (comme le morphisme de Frobenius ou l’opérateur de descente de Shintani) à l’aide de la cohomologie des variétés de Deligne-Lusztig. Cette nouvelle approche – qui repose sur les propriétés intrinsèques des groupes réductifs finis et non sur la classification – se généralise naturellement au cas des groupes spetsiaux. Cela ouvre de nombreuses et stimulantes nouvelles perspectives de recherche que nous souhaitons explorer, avec notamment |
Cédric Bonnafé (Université de Montpellier)
Michel Broué (Université Paris Diderot)
Olivier Dudas (Université Paris Diderot)
Jean Michel (Université Paris Diderot)
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