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CONFERENCE

Entire Curves, Rational Curves and Foliations
Courbes entières, courbes rationnelles et feuilletages
18 – 22 February 2019

Scientific Committee
Comité scientifique

​Igor Dolgachev (University of Michigan)
Philippe Eyssidieux (Université Grenoble Alpes)
Carlos Simpson (CNRS / Université Nice Sophia Antipolis)
Andrei Teleman (Aix-Marseille Université)

Organizing Committee
Comité d’organisation

Damian Brotbek (IRMA Strasbourg)
Simone Diverio (Sapienza)
Carlo Gasbarri (Université de Strasbourg)
​Erwan Rousseau (Aix-Marseille Université)
Description
The past decade has seen huge advances and major breakthroughs in our understanding of the distribution of rational and entire curves in complex varieties, motivated in particular by S. Kobayashi’s conjectures predicting that there is no entire curves in generic projective hypersurfaces and Green-Griffiths-Lang’s conjectures about the non-existence of Zariski dense entire curves in varieties of general type.

This research area is very active in particular because of its fascinating links with the distribution of rational points in arithmetic geometry. Relating the behaviour of rational points and holomorphic and rational curves with the properties of the canonical bundle, Lang and Vojta have shown a new perspective on our understanding of geometric and arithmetic structures of algebraic varieties.
​
One of the key points in these advances is the theory of holomorphic foliations. In the case of surfaces, McQuillan has introduced Ahlfors currents associated to entire curves. This enables to translate Nevanlinna theory into an intersection theory. He used these techniques to obtain the algebraic degeneracy of entire curves in surfaces of general type with big cotangent bundle. The problem reduces to the study of entire curves which are tangent to foliations on these surfaces and can be seen as the transcendental version of a result of Bogomolov on the finiteness of rational and elliptic curves on these surfaces.

Another approach to these questions is motivated by recent works of Campana. He has generalized the conjectures of Lang and Vojta introducing generalized orbifold structures and has proposed a new classification of complex algebraic manifolds based on this « orbifold » geometry. This approach is particularly interesting from the point of view of hyperbolicity since it shows a natural decomposition of any algebraic variety into a « hyperbolic » part and a « non-hyperbolic » part.
The goal of this week is to gather specialists of the different fields that appear

in the study of the geometry of algebraic and transcendental curves in complex varieties :
— Jets spaces and foliations
— Special Varieties
— Nevanlinna theory

​Junior women mathematicians and those from under-represented minority groups will be given priority for financial help.
La période récente a connu des avancées spectaculaires dans l’étude de la distribution des courbes rationnelles ou entières dans les variétés complexes, motivées notamment par les conjectures de S. Kobayashi prédisant l’absence de courbes entières dans les hypersurfaces projectives génériques de grands degrés et celles de Green-Griffiths-Lang sur la non-existence de courbes entières Zariski denses dans les variétés de type général.

Ce sujet de recherche très actif est notamment motivé par ses liens avec la
distribution des points rationnels en géométrie arithmétique. En reliant le comportement des points rationnels et celui des courbes holomorphes ou rationnelles avec les propriétés du fibré canonique, Lang et Vojta ont jeté une nouvelle perspective sur notre compréhension des structures géométriques et arithmétiques des variétés algébriques.

L’un des points clés (après les travaux de Bogomolov, McQuillan…) dans les
avancés récentes est la théorie des feuilletages holomorphes. Dans le cas des surfaces, McQuillan a introduit les courants d’Ahlfors associés aux courbes entières, permettant de traduire la théorie de Nevanlinna en une théorie de l’intersection. Ces courants lui ont permis d’obtenir la dégénérescence des courbes entières dans les surfaces de type général dont le fibré cotangent est gros. Cela revient à comprendre la géométrie des courbes entières qui sont feuilles de feuilletages sur ces surfaces et peut être vu comme la version transcendante du résultat de Bogomolov sur la finitude des courbes rationnelles et elliptiques sur ces surfaces.

Une autre approche de ces problèmes est motivée par les travaux de Campana. Celui-ci a généralisé les conjectures de Lang et Vojta en introduisant des structures orbifoldes généralisées et a proposé une nouvelle classification des variétés algébriques complexes faisant apparaître l’importance de ces structures orbifoldes. Cette géométrie est particulièrement intéressante du point de vue des questions d’hyperbolicité puisqu’elle met en évidence la décomposition des variétés algébriques en une partie « hyperbolique » et une partie « non-hyperbolique ».

Le but de cette semaine est de rassembler des spécialistes des différents domaines qui apparaissent dans l’étude de ces questions de la géométrie des courbes algébriques et transcendantes dans les variétés complexes :
— Espaces de jets et feuilletages
— Variétés spéciales
— Théorie de Nevanlinna

​Les jeunes mathématiciennes et les personnes provenant de minorités seront considérés comme prioritaires pour l’obtention d’une aide financière.
Mini courses

Yohan Brunebarbe (University of Zurich)   Hyperbolicity and fundamental groups
Nessim Sibony (Université Paris-Sud)   Nevanlinna’s theory and equidistribution

Talks

Ekaterina Amerik (Université Paris-Sud)   Isotriviality for families given by regular foliations   – VIDEO – 
Frédéric Campana (Université de Lorraine)  Special Manifolds, the Core fibration, Rational and Entire curves   – VIDEO – 
Jean-Pierre Demailly (Université Grenoble Alpes)   Improved bounds for jet differential operators and the Kobayashi conjecture   –  VIDEO – 
Ya Deng (IRMA Strasbourg)   Hyperbolicity of moduli spaces of higher dimensional projective manifolds
Gerd Dethloff (Université de Brest)  Holomorphic curves into algebraic varieties intersecting moving hypersurface targets
Ariyan Javanpeykar (JGU Mainz University)   Arithmetic and algebraic hyperbolicity    – VIDEO –
Eric Riedl (University of Notre Dame)   A Grassmannian technique and the Kobayashi Conjecture     – VIDEO – 
Min Ru (University of Houston)  Holomorphic curves into projective varieties intersecting general divisors
Sai Kee Yeung (Purdue University)   Aspects of the Kobayashi metric on moduli spaces