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CONFERENCE
Singular Metrics in Complex Kähler Geometry Scientific Committee
Comité scientifique Igor Dolgachev (University of Michigan) Organizing Committee
Comité d’organisation Jean-Pierre Demailly (Université Grenoble-Alpes) |
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By bringing together analytic and algebraic properties of geometric objects, singular metrics play a prominent role in complex geometry. For instance, metrics with so-called conic singularities were heavily used in the proof of the celebrated Yau-Tian-Donaldson conjecture in the case of smooth Fano manifolds. This conjecture relates the existence of a Kähler-Einstein metric on a given Fano manifold to an algebro-geometric notion of stability, called K-stability – in this sense, the conjecture creates a bridge between complex analytic and algebraic geometry. A lot of sophisticated techniques have been developed lately to help understand more finely the behavior of these metrics near their singularities. During this week, we propose to study various geometric problems for which the use of singular metrics serves as a common denominator.
(a) Singular Kähler-Einstein varieties and their moduli. We will focus on the recent developments around the work of Donaldson-Sun and Li-Wang-Xu about the algebraic realization of the metric tangent cone at a singular point of a Gromov-Hausdorff limit of Kähler-Einstein Fano varieties. We will also consider the compactification of the moduli spaces of K-stable Fano varieties in the light of recent results obtained in explicit situations (Spotti-Sun). In another direction, the case of canonically polarized varieties drew the geometers attention : one can study them from the viewpoint of KSBA stability. A recent result showed the amplitude of the CM line bundle on the moduli space of KSBA stable varieties. (b) Positivity in complex geometry. This is in relation to Cao and Paun’s approach to the Iitaka conjecture using singular hermitian metrics, as well as (c) Generalized Yau-Tian-Donaldson conjecture. We want to discuss the generalization of this conjecture to constant scalar curvature metrics, Kähler- This list is certainly not meant to be exhaustive. Rather, it serves as an overview of the themes we would get onto. A lot of new results appeared recently that are directly related to a),b),c) reasserting how active this domain is. The week could be interesting to analysts (for instance, working on positive currents) as well as to complex algebraic geometers. Junior women mathematicians and those from underrepresented minority groups will be given priority for financial help. |
Les métriques singulières jouent un rôle particulièrement important en géométrie complexe établissant un pont entre propriétés analytiques et propriétés algébriques d’objets géométriques. Par exemple, les métriques à singularités coniques apparaissent naturellement dans la récente résolution de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson dans le cas particulier des variétés (lisses) Fano pour les métriques Kähler-Einstein (lisses). Rappelons que cette conjecture relie l’existence de telles métriques à une notion algébro-géométrique de stabilité (appelée K-stabilité) établissant ainsi un pont entre géométrie analytique complexe et géométrie algébrique complexe. Des techniques sophistiquées d’analyse se sont développées autour de ces métriques afin de contrôler leur comportement près des singularités.
Nous proposons durant cette semaine d’étudier différents problèmes géométriques qui ont comme dénominateur commun l’utilisation de ces métriques singulières et leurs propriétés : (a) Variétés singulières Kähler-Einstein et leurs espaces de modules. On s’intéressera en particulier aux récents développements autour des travaux de Donaldson-Sun and Li-Wang-Xu concernant le cone tangent comme construction algébrique pour les singularités à la la limite (au sens de Gromov-Hausdorff) de variétés Fano Kähler-Einstein. On considèrera aussi la compactification des espaces de modules de variétés Fano K-stables pour lesquels de nouveaux résultats sont apparus dans des cas explicites (travail de Spotti-Sun). Dans une autre direction, le cas de variétés canoniquement polarisées a suscité l’attention des géomètres : on peut les étudier d’un point de vue de la KSBA stabilité. Un résultat récent a établi l’amplitude du fibré en droites CM sur l’espace de modules de variétés KSBA stables. (b) Positivité en géométrie complexe. Ceci est en relation avec l’utilisation de (c) Conjecture de Yau-Tian-Donaldson généralisée. La généralisation de cette Les jeunes mathématiciennes et les personnes provenant de minorités seront considérés comme prioritaires pour l’obtention d’une aide financière. |
Mihai Paun (University of Illinois at Chicago) Variation of singular Kähler-Einstein metrics
Gábor Székelyhidi (University of Notre Dame) Singular Kähler-Einstein metrics
Talks
Junyan Cao (IMJ-PRG Paris) Kodaira dimension of algebraic fiber spaces over abelien varieties or projective surfaces – VIDEO -
Jingrui Cheng (University of Wisconsin at Madison) A priori estimates for scalar curvature type equations on compact Kähler manifolds – VIDEO –
Ruadhai Dervan (Caius College Cambridge) Moduli of algebraic varieties – VIDEO –
Daniel Greb (University of Duisburg-Essen) Compactifying the geometric Kobayashi-Hitchin correspondence
Vincent Guedj (Université Toulouse III – Paul Sabatier) Pluripotential Kähler-Ricci flows – VIDEO –
Yoshinori Hashimoto (Tokyo Institute of Technology) Constant scalar curvature Kähler metrics with cone singularities and Futaki invariant
Hans-Joachim Hein (Fordham University) High order estimates for collapsing Calabi-Yau metrics
Eiji Inoue (University of Tokyo) The moduli space of Fano manifolds admitting Kähler-Ricci solitons
Takayuki Koike (Osaka City University) Minimal singular metrics on effective nef line bundles and neighborhood of the stable base loci
Chinh Lu (Université Paris-Sud) Uniform convexity in L^p Mabuchi geometry, the space of rays and geodesic stability
Martin Sera (Chalmers University of Technology & University of Gothenburg) Chern forms of singular hermitian metrics on vector bundles
Xiaowei Wang (Rutgers University) Algebraicity of the metric tangent cones – VIDEO –
Zhiwei Wang (Beijing Normal University) New characterization of plurisubharmonic functions and its applications
Kai Zheng (University of Warwick) Singular metrics in Kähler geometry
