Théories de cohomologie rationnelle G-équivariante pour groupe de Lie compact G
21-25 May 2018
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Cohomology theories are contravariant homotopy functors on topological spaces satisfying the Eilenberg–Steenrod axioms (except for the dimension axiom). To effectively study spaces with an action of a compact Lie group G, one uses G–equivariant cohomology theories. The best known examples are the Borel construction on a non-equivariant cohomology theory, equivariant K –theory and equivariant cobordism. Each of these theories is of interest in its own right, but one can also study the category of G–equivariant cohomology theories as a whole. This category is the G-equivariant stable homotopy category.
The pair are working on the long term project to classify rational G–equivariant cohomology theories, for G a compact Lie group, in terms of an algebraic category. This classification is known when G is finite, for SO(2), O(2), SO(3) and for all tori T. Furthermore some general statements are known regarding ‘free’ and ‘toral’ rational G–equivariant cohomology theories. Having an algebraic model for general G will make it easier for mathematicians to use the rational G-equivariant stable homotopy category. Any area that is interested in spaces with symmetries up to homotopy will benefit from such a model. It will also allow the techniques of equivariant stable homotopy theory to be used more widely. This Research In Pairs application aims to capitalise on recent progress on the toral case and has two main objectives. Firstly to solve the general case for an arbitrary compact Lie group G. Secondly to study the monoidal structures on the algebraic models. The second objective allows one to model equivariant cohomology theories with multiplicative structures in terms of algebra. This would improve understanding of a very complicated structure that has seen much interest since the solution of the Kervaire invariant one problem by Hill, Hopkins and Ravenel. |
Les théories de cohomologie sont des foncteurs homotopiques sur des espaces topologiques, satisfaisant les axiomes de Eilenberg—Steenrod (sauf l’axiome de dimension). Afin d’étudier les espaces munis d’une action d’un groupe de Lie compact G, on utilise des cohomologies G-equivariantes. Les plus connues sont les constructions de Borel sur une cohomologie nonequivariante, la K–théorie equivariante et le cobordisme equivariant. Chacune de ces théories s’avère intéressante en soi, mais il est aussi utile d’étudier la catégorie des cohomologies G–equivariantes dans sa globalité. Cette catégorie est la catégorie d’homotopie stable G-equivariante.
La paire de chercheurs est au cœur d’un projet à long terme dont le but est de classifier les théories de cohomologie G-equivariantes à coefficients rationnels, pour les groupes de Lie compacts G, en termes de catégories algébriques. Cette classification est connue lorsque G est fini, pour SO(2), O(2), SO(3), et pour tous les toris T. En plus, quelques déclarations générales sont connues en ce qui concerne les théories de cohomologie G-equivariantes « libres» ou « torales». Disposer d’un modèle algébrique pour les G généraux rend l’utilisation de la catégorie de l’homotopie stable G-equivariante rationelle plus facile pour les mathématiciens. Toute discipline intéressée par les espaces avec symétries allant jusqu’à l’homotopie, bénéficiera également d’un tel modèle. Il permettra aux techniques de la théorie de l’homotopie stable equivariante d’être utilisées à plus grande échelle. Cette application de « Research In Pairs» tente de capitaliser sur les progrès récents dans le cas torique et vise deux objectifs principaux : En premier, de résoudre le cas général pour un groupe de Lie compacte arbitraire G. En deuxième lieu, d’étudier les structures monoidales sur les modèles algébriques. Ce deuxième objectif permet de modéliser les théories de cohomologie équivariantes avec des structures multiplicatives en termes d’algèbre. Ceci améliorerait la compréhension d’une structure particulièrement complexe et qui est l’objet de beaucoup d’attention depuis la solution du problème « Kervaire invariant» apportée par Hill, Hopkins et Ravenel. |
David Barnes (Queen’s University Belfast)
John Greenlees (University of Sheffield)
Magdalena Kedziorek (MPIM Bonn)
