Approximate water wave models such as the KdV and NLS equations often feature a number of invariant integrals. Recently, there has been interest in the physical interpretation of these quantities. In particular, it was shown that the total mechanical energy in a wavetrain at the free surface of an inviscid fluid can only be represented in terms of invariant integrals of the KdV equation in certain special cases.

While most long-wave equations do not feature exact energy balance sometimes the approximate balance laws coincide with the invariant integrals of the system. Such is the case for example in the Serre system.

For the NLS equation, one of the most popular model equations, it appears that it is not yet well understood whether the energy balance is exact or not. In particular, it is not clear whether the Hamiltonian represents the total energy of a surface wave system. Therefore, in this project, we will investigate how these considerations play out in the context of the NLS equation, and more generally in other narrow-banded spectrum approximations, such as the Dysthe equation.​

Les modèles d’onde de surface approchés tels que les équations KdV et NLS présentent souvent un certain nombre d’intégrales invariantes. Récemment, il y a eu un intérêt nouveau pour l’interprétation physique de ces quantités. En particulier, il a été montré que l’énergie mécanique totale d’un train d’ondes à la surface libre d’un fluide non visqueux ne peut être représentée qu’en termes d’intégrales invariantes de l’équation KdV dans certains cas particuliers.

La plupart des équations d’ondes longues ne satisfont pas un bilan énergétique exact alors que les lois d’équilibre approché coïncident avec les intégrales invariantes du système. Tel est le cas par exemple du système de Serre.

​Pour l’équation NLS, l’une des équations modèles les plus populaires, il semble que l’on ne sait pas encore très bien si le bilan énergétique est exact ou non. En particulier, il n’est pas certain que l’hamiltonien représente l’énergie totale d’un système d’onde de surface. Par conséquent, dans ce projet, nous proposons d’étudier comment ces considérations s’articulent dans le contexte de l’équation NLS, et plus généralement dans d’autres équations à bande spectrale étroite, en particulier l’équation de Dysthe.