Les familles de Thomas d’équations de Thue sur les corps quadratiques imaginaires
16-27 July 2018
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In 1909, Axel Thue proved that if F(X, Y ) is an irreducible form of degree n ≥ 3 with integer coefficients and m is a nonzero integer, then
F(X, Y ) = m has only finitely many solutions over the integers. It is currently a routine matter to solve a single such equation, called a Thue equation, over the integers using various algorithms that have been implemented by several computer algebra systems. In 1990, Emery Thomas studied families of Thue equations of positive discriminant, parametrized by an integer t. Many such families have since been completely solved over the integers (see C. Heuberger (2000) for a survey). Extending Thomas’ work on parametrized families of relative Thue equations Heuberger, Pethő, and R.F. Tichy (1999) Jadrijević and Ziegler (2006), and Heuberger (2006) solve families of Thue equations where the parameter t and the solutions are elements of an imaginary quadratic number field. As Zeigler suggested to Goedhart, a mathematical descendant of Thomas, then Faye and Goedhart are continuing this line of research over imaginary quadratic number fields for particular families of Thue equations. |
En 1909, Axel Thue a démontréque si F(X, Y ) est une forme irréductible de degré n ≥ 3 à coefficients entiers et m un entier non nul, alors l’équation
F(X, Y ) = m admet un nombre fini de solutions entières. Il est maintenant une routine de résoudre une telle équation, appelée équation de Thue, sur les entiers naturels utilisant des algorithmes variés qui ont été implimentés dans plusieurs languages de programmation. En 1990, Emery Thomas étudia une famille d’équations de Thue avec un discriminant positif, paramétrée par un entier t. Plusieurs familles de la même sorte ont depuis été étudiées sur Z (voir C. Heuberger (2000) pour une revue complète de la littérature.) En généralisant le travail de Thomas sur les familles paramétrées d’équations de Thue, Heuberger, Pethő, et R.F. Tichy (1999), Jadrijević et Ziegler (2006), et Heuberger (2006) ont résolu des équations avec un paramètre t tel que les solutions appartiennent à un corps de nombre quadratic imaginaire. Comme Zeigler l’a suggéré à Goedhart, Faye et Goedhart ont pour objectif de poursuivre cet axe de recherche sur les corps quadratic imaginaire pour des familles particulières d’équation de Thue. |
Eva Goedhart (Lebanon Valley College)
