Menachem Magidor (University of Jerusalem)
Jouko Vaananen (University of Helsinki)
Hugh Woodin (Harvard University

Mirna Dzamonja (University of East Anglia)
Boban Velickovic (Université Paris Diderot)

For this workshop we plan to concentrate on the following themes:
 
1) new methods in iterated forcing by using chains of elementary submodels as side conditions. One such technique was recently introduced by Neeman who used it to solve a number of important problems, most notably the question of Baumgartner who asked if it is relatively consistent that all א2-dense sets of reals be pairwise isomorphic. Similar techniques were developed by Aspero, Krueger, Velickovic and others. The most important question in this line of research is to obtain higher cardinal analogs of strong forcing axioms such as PFA or MM.
 
2) classical realizability and forcing. Realizability studies the computational content of proofs by associating to each proof a program. The work of Krivine in classical realizability leads to a new method for building models of the theory ZF which generalizes Cohen’s method of forcing. However, the models obtained by Krivine do not satisfy the Axiom of Choice (AC). It is a fundamental question if one can also realize AC and more generally if the new method allows us to obtain new results in set theory that cannot be obtained by the standard set theoretic techniques.
 
 
 
3) applications of set theory to operator algebras. The interactions between these subjects dates to the 1950s, but it is only recently that it has grown to a subject in its own right with new important advances. We mention the work in descriptive set theory on definable equivalence relation and its application to classification of operator algebras, as well as the work of Akemann-Weaver on Naimark’s problem and the work of Phillips-Weaver and Farah on the group of automorphisms of the Calkin algebra.

Pour cette rencontre nous avons prévu de mettre l’accent sur les thèmes suivants :
 
1) nouvelles méthodes d’itération de forcing en utilisant des sous-modèles élémentaires comme conditions auxiliaires. L’une de ces techniques a été introduite récemment par Neeman et a permis de résoudre plusieurs problèmes importants, notamment la question de Baumgartner à savoir s’il est cohérent avec ZFC que tous les ensembles de réels א2-denses sont deux- à-deux isomorphes. Des techniques similaires ont été développées par Aspero, Krueger, Velickovic et d’autres. Le but principal est d’obtenir des généralisations des axiomes de forcing forts aux cardinaux plus grands que א1.
 
 2) la réalisabilité classique et forcing. La réalisabilité étudie le contenu calculatoire des preuves en associant à chaque preuve un programme. Les travaux de Krivine en réalisabilité classique donne une nouvelle méthode pour construire des modèles de la théorie ZF qui généralise la méthode de forcing de Cohen. Cependant les modèles obtenus par Krivine vérifient la négation de l’Axiome du Choix (AC). La question fondamentale est à savoir si on peut aussi réaliser AC et plus généralement si cette méthode permet d’obtenir de nouveaux résultats en théorie des ensembles.
 
3) applications de la théorie des ensembles aux algèbres d’opérateurs. L’interaction de ces deux disciplines date depuis des années 1950, mais ce n’est que depuis quelques années qu’elle est devenu un sujet à part entières avec de nombreuses avancées importantes. Nous mentionnons les travaux en théorie descriptive sur les relations d’équivalence et ses applications à la théorie de classification d’algèbres d’opérateurs ainsi que les travaux de Akemmann-Weaver sur le problème de Naimark et les travaux de Phillips-Weaver et Farah sur le groupe des automorphismes de l’algèbre de Calkin.