CONFERENCE

Constant Scalar Curvature Metrics in Kähler and Sasaki Geometry
Métriques à courbure scalaire constante en géométrie Kählérienne et Sasakienne

15 – 19 January 2018

Scientific Committee
Comité scientifique

Charles Boyer (University of New Mexico)
Gilles Carron (Université de Nantes)
Simon Donaldson (Imperial College & Simons Centre)
Vincent Guedj (Université Paul Sabatier)
Julius Ross (University of Cambridge)

Organizing Committee
Comité d’organisation

Hugues Auvray (Université Paris-Sud)
Hongnian Huang (University of New Mexico)
Julien Keller (Aix-Marseille Université)
Eveline Legendre (Université Paul Sabatier)
Rosa Sena Dias (Instituto Superior Tecnico, Portugal)

The Yau-Tian-Donaldson conjecture restricted to a particular case has been proved in 2012: the existence of Kahler-Einstein/Sasaki-Einstein metrics has been related to K-polystability after a breakthrough of X.X Chen, S.K. Donaldson and S. Sun.
Originally the Y-T-D conjecture was sketched by the Fields medallist S-T. Yau, and refined later by G. Tian and the Fields medallist S.K. Donaldson.
Complex geometers are turning now to the general version of the Y-T-D correspondence about existence of constant scalar curvature (csc) Kahler/Sasaki metrics (that do not belong to the anti-canonical class). This generalization is far from being a trivial question since the csc equation is much more difficult (non linear 4-th order PDE, while the Einstein case turned out to be a Monge-Ampere
equation of 2-nd order). Many questions arise, and without being exhaustive we shall quote some of them now:

  • how to define the right notion of algebraic stability to obtain the correspondence? how to check the stability in practice?
  • what about the degenerations of metrics in relation with algebraic deformations?
  • what about moduli space of metrics with special curvature properties (compactifications, topological invariants,…);
  • what is happening in the case of toric geometry? Can we find explicit ansatz?
  • study of the Calabi flow from the point of view of geometric analysis;
  • classification in low dimension;
  • study of the Kähler cone in the perspective of cscK metrics;
  • relationship with mathematical physics etc.

Young researchers and members of underrepresented groups will be financially helped as much as possible.

La conjecture de Yau-Tian-Donaldson a été prouvée dans un cas particulier en 2012 : l’existence de métriques de Kähler-Einstein/Sasaki-Einstein a été reliée a la K-polystabilité après la percée de X.X. Chen, S.K. Donaldson et S. Sun. A l’origine, la conjecture Y-T-D a été esquissée par le médaille Fields S-T. Yau, puis precisée par G. Tian et le médaille Fields S.K. Donaldson.
Les géomètres complexes se tournent maintenant vers la version générale de la correspondance de Y-T-D pour les métriques à courbure scalaire constante, dans le cas Kähler ou Sasaki (mais lorsque les métriques n’appartiennent pas a la classe anticanonique). Cette généralisation est loin d’être une question facile, car l’équation de courbure scalaire constante (CSC) est beaucoup plus compliquée à contrôler (il s’agit d’une EDP hautement non linéaire d’ordre 4, tandis que le cas Einstein se ramenait à une équation de Monge-Ampère d’ordre 2). Beaucoup de difficultés sont à surmonter en vue d’une résolution de la conjecture, et de nombreuses questions restent ouvertes. Nous en dressons une liste non exhaustive :

  • comment définir une bonne notion algébrique de stabilité pour obtenir la correspondance souhaitée ? Comment vérifier la stabilite concretement ?
  • que peut-on dire des dégénérescences de métriques qui apparaissent lorsqu’on procède à une déformation algébrique ?
  • quelles sont les propriétes des espaces de modules de métriques à courbure spéciale (compactifications, invariants topologiques, …) ;
  • que se passe-t-il dans le cas de la géométrie torique ? Peut-on obtenir des ansatz ?
  • étude géométrico-analytique du flot de Calabi ;
  • classiffication en petite dimension ;
  • étude du cône Kähler, description en fonction de l’existence de classe possédant une métrique à courbure scalaire constante ;
  • relations avec la physique mathématique, etc.

Les jeunes chercheurs et les personnes venant de communautés scientifiques sous-représentées seront autant que possible financièrement aidés.

Speaker

Claudio Arezzo (ICTP Trieste)   On the existence of KCSC metrics on resolutions of isolated singularities   (pdf)
Sébastien Boucksom (CNRS, Ecole Polytechnique)   Variational and non-Archimedean aspects of the Yau-Tian-Donaldson conjecture   – VIDEO  –
Ruadhai Dervan (University of Cambridge)   Analytic and algebraic aspects of stable maps​
Eleonora Di Nezza (Imperial College London)   Complex Monge-Ampere equations with prescribed singularities​  – VIDEO – 
Joel Fine (Université Libre de Bruxelles)   From hypersymplectic to hyperkahler via G2
​Akito Futaki (The University of Tokyo)   Hessian formula for moment maps and the structure of automorphism group on conformally Kahler, Einstein-Maxwell metrics ​
Yoshinori Hashimoto (Aix-Marseille Université)   Relative balanced metrics and relative stability
An-Min Li (Sichuan University)   Extremal Metrics on Toric Manifolds  (pdf)
Andrea Loi (Università di Cagliari)   Kähler immersions of homogeneous Kähler manifolds into complex space forms   (pdf)
Heather Macbeth (Massachusetts Institute of Technology Kähler-Ricci solitons on crepant resolutions .  – VIDEO
Gideon Maschler (Clark University)    Kähler metrics associated with Lorentzian metric in dimension four   (pdf)
Sean T. Paul (University of Wisconsin)   Discriminants, Resultants, and a theorem of Ding and Tian
Lars Martin Sektnan (Université du Québec à Montréal)    Extremal Poincaré type metrics and stability of pairs on Hirzebruch surfaces .  – VIDEO – 
Zakarias Sjöström Dyrefelt (Toulouse/Ecole Polytechnique)   On K-polystability of cscK manifolds with transcendental cohomology class
Cristiano Spotti (Aahrus)    Log Calabi-Yau surfaces
Ioana Suvaina (Vanderbilt University)   Asymptotically Locally Euclidean Kähler Manifolds  (pdf)
Craig Van Coevering (Boğaziçi University)    A new obstruction for Sasaki-extremal metrics  (pdf)
David Witt Nyström (Chalmers University of Technology)   Coupled Kähler-Einstein metrics 

Short Talks

Thibaut Delcroix (ENS Paris) Mabuchi’s K-energy functional on horosymmetric varieties
Takayuki Koike (Osaka City University) Non-projective K3 surfaces containing Levi-flat hypersurfaces  (pdf)
Homare Tadano (Osaka University)   Myers-Type Theorems, Diameter Bounds, and Gap Theorems for Sasaki Manifolds​   (pdf)
Jonatán Torres Orozco Román (CIMAT)  Invariant solutions to the Yamabe Equation on the Koiso-Cao soliton  (pdf)
Antonio Trusiani (University of Rome Tor Vergata)   Canonical Kähler-Einstein metrics on TpX associated to Kähler classes
Markus Upmeier (University of Oxford)  Almost Kähler 4-manifolds of Constant Holomorphic Sectional Curvature are Kähler   (pdf)
Caroline Vernier (Université de Nantes) Gluing methods in almost-Kähler geometry   (pdf)
Juanyong Wang (Ecole polytechnique)  Iitaka’s C_n,m conjecture for Kähler fibrations over complex tori

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